Сравнение длин пространственных векторов при нулевой одной координате: задания с разбором, 10 класс

Три контрольных вопроса

1. Сравните |(0;3;4)| и |(0;4;3)|.
2. Может ли ненулевой вектор (0;a;b) иметь длину 0?
3. Найдите ошибку: |(5;0;12)|=5+12.

Новые задачи

4. Что длиннее: (0;−6;8) или (0;7;7)?
5. Сравните (−9;0;0) и (0;−4;8) по длине.
6. Укажите длину (0;0;−11).
7. При каком положительном t длины (0;t;12) и (0;13;0) равны?
8. Есть ли вещественное t: |(0;t;5)|=4?
9. Сравните длины (0;2√3;6) и (0;4;6).
10. Сравните (−1;0;√15) и (2;0;√12).
11. Для (0;8;k) известна длина 10. Найдите k.
12. Сравните (0;−2;−3) и (0;−3;−2).

Быстрый ключ

1. Равны: оба квадрата 25.
2. Нет, сумма a²+b² положительна для ненулевого вектора.
3. Верная длина √(25+144)=13, а не 17.
4. Первый: 100>98.
5. 9>√80=4√5.
6. 11.
7. t²+144=169, t=5.
8. Нет: t²+25=16 означает t²=−9.
9. Первый короче: квадраты 48 и 52.
10. Обе длины 4, поскольку 1+15=4+12=16.
11. k²=36; k=±6. Знак нельзя выбирать без условия.
12. Равны: квадрат длины 13 у обоих; знаки не влияют на квадраты.

Пояснения к диагностике

Первое контрольное задание проверяет перестановку ненулевых координат: если меняется только порядок чисел, сумма квадратов не меняется и длина сохраняется. Второе требует отличать нулевую координату от нулевого вектора: у (0;a;b) длина равна нулю только при a=0 и b=0 одновременно. Третье ловит ошибку «сложим длины компонент»; в пространстве вектор с координатами (5;0;12) имеет длину 13 по теореме Пифагора.

При нахождении неизвестной координаты нужно решить уравнение для её квадрата. Если получится t²=25 и по условию t положительно, ответ t=5. Если знак не задан, два варианта: −5 и 5. Если получится t²=−9, действительных решений нет. Поэтому обязательно перепишите требование о знаке из условия, прежде чем давать окончательный ответ.

Сравнивать квадратные корни с десятичным округлением не нужно. Для двух ненулевых векторов сравнение их квадратов длин уже эквивалентно сравнению длин. Сложный на первый взгляд пример (0;2√3;6) сводится к числу 12+36=48, а для (0;4;6) квадрат длины равен 16+36=52. Это точнее и быстрее любого калькулятора.