Сравнение длин пространственных векторов для диагоналей куба — рабочий лист для 10 класса

Вариант I — координаты и доказательства

1. Ребро куба 2 см. Найдите длину диагонали грани.
2. Для того же куба найдите пространственную диагональ.
3. Сравните эти два отрезка без десятичных приближений.
4. Если ребро равно 5, какая диагональ длиннее: AC или AC₁?
5. Сравните |AC₁| и |BD₁| при ребре 7.
6. Сравните |AB₁| и |AD₁| при ребре 4.
7. Если |AC|=6√2, найдите ребро и |AC₁|.
8. Найдите отношение |AC₁|/|AC|.
9. Исправьте утверждение «диагональ грани длины a√3».

Вариант II — сравнение без калькулятора

1. Если |AC₁|=9√3, найдите сторону куба.
2. При ребре 3 сравните |AA₁| и |BC₁|.
3. При ребре 8 найдите квадраты длин пространственной и граневой диагоналей.
4. Что длиннее: диагональ нижней грани или верхней?
5. Сравните векторы AB₁ и CD₁ по длине при a=6.
6. Найдите квадрат длины вектора от (0;0;0) до (a;a;a).
7. Вычислите квадрат длины вектора от (a;0;0) до (a;a;a).
8. Назовите все возможные длины отрезков между разными вершинами куба при a=10.
9. Дан вектор (−4;4;−4), соединяющий вершины куба. К какому типу относится диагональ?

Ключ для учителя: вариант I

1. 2√2 см.
2. 2√3 см.
3. 2√3>2√2, поскольку 3>2.
4. |AC₁|=5√3>|AC|=5√2.
5. Равны: обе пространственные диагонали длины 7√3.
6. Равны: диагонали граней, 4√2.
7. Ребро 6, пространственная диагональ 6√3.
8. √(3/2)=√6/2.
9. Диагональ грани a√2; a√3 — диагональ куба.

Ключ для учителя: вариант II

1. 9.
2. 3<3√2.
3. 192 и 128.
4. Равны: обе a√2.
5. Равны: оба вектора имеют длину 6√2.
6. 3a².
7. 2a² — меняются только y и z.
8. 10, 10√2, 10√3.
9. Пространственная: длина 4√3, три ненулевых приращения.

Пошаговая памятка для самопроверки

У куба три вида расстояний между разными вершинами. Между соседними вершинами получается ребро a. Между противоположными вершинами одной грани — диагональ грани a√2. Между противоположными вершинами всего куба — пространственная диагональ a√3. Эти значения не зависят от места куба в пространстве и от того, как повернут рисунок.

Докажем формулы, чтобы не заучивать их механически. Возьмите грань-квадрат со стороной a. По теореме Пифагора квадрат её диагонали равен a²+a²=2a². Затем составьте прямоугольный треугольник из диагонали нижней грани, вертикального ребра и пространственной диагонали. Квадрат последней равен 2a²+a²=3a². Для положительного a корни имеют вид a√2 и a√3. Поэтому всегда a<a√2<a√3.

В задачах о длине вектора его направление не влияет на результат. Например, путь от A до C₁ и путь от C₁ до A задают противоположные векторы, но оба имеют длину a√3. У пространственных диагоналей могут быть разные знаки координат; сумма их квадратов всё равно равна 3a². Если вы получили разные длины для двух пространственных диагоналей одного куба, значит, где-то допущена ошибка в координатах.

Как разобрать нестандартные задания

Если дана диагональ грани 6√2, восстановление ребра начинается с равенства a√2=6√2, откуда a=6. Пространственная диагональ равна 6√3. Подставлять в формулу сторону 6√2 вместо 6 было бы ошибкой: у вас уже дана диагональ грани, а не ребро.

Если дана пространственная диагональ 9√3, то a√3=9√3 и a=9. В таком задании полезно не делить значения корней приближённо: множитель √3 сокращается точно. Для обратной проверки вычислите √(9²+9²+9²)=√243=9√3.

У вектора между вершинами куба с координатными приращениями (−4;4;−4) все три компоненты ненулевые и равны по модулю. Поэтому он лежит вдоль пространственной диагонали куба со стороной 4. У вектора (0;4;−4) ненулевых координат только две: это направление диагонали грани. По такому признаку можно классифицировать диагонали даже без рисунка.

Проверка и оценивание вариантов

Проверяйте не только окончательное выражение, но и тип диагонали, который выбрал ученик. По одному баллу можно начислить за верную классификацию и ещё по одному — за точный расчёт там, где оба действия требуются. Наиболее показательные задания — I.7, I.9, II.6 и II.9: они помогают увидеть, действительно ли ученик понимает геометрию, а не подставляет числа в знакомую формулу.