Определение взаимного расположения для прямой и плоскости: упражнения разной сложности, 10 класс

Схема исследования

Наблюдаем и формулируем правило

1. Прямая (x,y,z)=(1,0,2)+t(0,1,0); плоскость y=3. Определите положение и точку встречи.
2. Та же прямая и плоскость x=1.
3. Та же прямая и плоскость x=4.

Применяем правило к новым данным

4. (x,y,z)=(0,2,3)+t(1,0,1); x+z=5.
5. (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,−1,0); x+y=3.
6. (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,−1,0); x+y=5.
7. (x,y,z)=(2,1,−1)+t(0,0,2); z=7.
8. (x,y,z)=(0,1,2)+t(2,1,0); 2x−4y=1.
9. (x,y,z)=(0,1,2)+t(2,1,0); 2x−4y=−4.
10. (x,y,z)=(3,2,1)+t(1,1,1); x+y+z=9.

Контрпримеры и доказательства

11. Дано n=(1,2,0) и направление прямой d=(2,−1,3). Какие положения возможны?
12. Найдите уравнение плоскости z=k, содержащей прямую (x,y,z)=(1,3,5)+t(2,0,0).
13. Проверьте неверный вывод: «Если n·d=0, прямая обязательно лежит в плоскости».
14. Для (x,y,z)=(2,−1,0)+t(−1,2,3) и 2x+y−z=0 найдите t и тип положения.

Ответы с проверкой подстановкой

1. Пересекаются: y=t=3, точка (1;3;2).
2. Прямая лежит в плоскости: её x постоянно равен 1.
3. Параллельны и не совпадают: x=1 при любом t, а нужно 4.
4. Пересекаются: x+z=3+2t=5, t=1, точка (1;2;4).
5. Прямая содержится: x+y=3 при любом t.
6. Параллельны: x+y всегда 3, не 5.
7. Пересечение: −1+2t=7, t=4, точка (2;1;7).
8. Параллельны без пересечения: 2x−4y=4t−4(1+t)=−4.
9. Содержится в плоскости, потому что левая часть равна −4 для всех t.
10. Точка встречи: 6+3t=9, t=1, (4;3;2).
11. n·d=2−2+0=0. Прямая либо параллельна плоскости вне её, либо содержится в ней; нужна точка прямой.
12. k=5: высота z постоянна.
13. Контрпример: прямая z=1, y=0 с направлением (1;0;0) и плоскость z=0; параллельны, но не совпадают.
14. Значение слева 3+t(−2+2−3)=3−3t, отсюда t=1, точка (1;1;3).

Полное объяснение трех случаев

Вектор направления d задаёт, куда движется точка прямой при изменении параметра t. Нормальный вектор n перпендикулярен плоскости. Поэтому число n·d показывает, есть ли у движения вдоль прямой составляющая в направлении нормали. Если n·d отлично от нуля, выражение n·(P+td) меняется с t. Значение k достигается ровно один раз, значит прямая и плоскость имеют одну общую точку.

Если n·d=0, движение параллельно самой плоскости. Но это ещё не отвечает на вопрос, где находится прямая. При n·P=k её начальная точка P уже лежит в плоскости. Поскольку движение вдоль d не изменяет n·r, вся прямая остаётся в плоскости. Если же n·P≠k, начальная точка вне плоскости и движение параллельно ей никогда не приведёт к пересечению.

Отметим тонкость терминологии. В школьных задачах часто говорят «прямая параллельна плоскости», когда они не имеют общих точек. Если прямая содержится в плоскости, это отдельный случай взаимного расположения, хотя вектор направления тоже ортогонален нормали. Ответ «параллельна» без проверки точки P может скрывать ошибку.

Подробно разберём два метода решения

Метод подстановки координат

Пусть прямая задана координатами (x,y,z)=(0,2,3)+t(1,0,1), а плоскость x+z=5. Подстановка даёт t+(3+t)=5. Отсюда 2t=2, t=1. При возвращении к уравнению прямой получаем точку (1;2;4). Итоговая проверка обязательна: 1+4=5, а координаты действительно получаются при t=1. Наличие единственного параметра подтверждает пересечение в одной точке.

Метод скалярного произведения

Для той же прямой P=(0;2;3), d=(1;0;1), нормаль плоскости n=(1;0;1), k=5. Сначала n·d=2, затем k−n·P=5−3=2. Значит t=(k−n·P)/(n·d)=2/2=1. Этот способ выгоден, когда координаты содержат дроби или большие числа, потому что показывает структуру рассуждения: сначала тест направления, затем вычисление параметра.

Когда решение неверно: диагностика

Не проверено исходное положение точки. Если n·d=0, ученик пишет «прямая в плоскости», хотя n·P≠k. Это ошибка. Например, прямая (x,y,z)=(1,t,2) целиком принадлежит x=1, но с плоскостью x=4 не имеет общих точек.

Неправильно найдено t. Допустим, получилось значение параметра t=−2. Оно допустимо: параметр прямой может быть любым действительным числом. Нельзя отбрасывать его по аналогии с длиной отрезка, где отрицательные значения недопустимы. Наша прямая — бесконечная, а не луч и не отрезок с ограниченным параметром.

Перепутаны плоскость и нормаль. У плоскости x+y+z=9 нормаль (1;1;1), а не её произвольная точка. Для прямой (3,2,1)+t(1,1,1) число n·d=3, значит имеется единственное пересечение; подстановка даёт t=1 и точку (4;3;2).

Забыты особые случаи. В этих задачах предполагается d≠0 и n≠0. Если вместо направляющего вектора взять нуль, запись P+td задаёт одну точку, а не прямую. Если у плоскости n=(0;0;0), равенство n·r=k не задаёт обычную плоскость. Эти случаи нужно исключить ещё при чтении условия.

Контрольный пример с параллельностью

Пусть прямая имеет параметрическую запись r(t)=(2;1;−1)+t(2;−1;0), а плоскость задана уравнением x+2y=7. Здесь нормаль n=(1;2;0), направление d=(2;−1;0), и n·d=2−2=0. Однако у начальной точки P=(2;1;−1) значение x+2y равно 4, а не 7. Значит прямая не лежит в плоскости, а параллельна ей без точек пересечения. Если заменить правую часть уравнения плоскости на 4, та же прямая целиком окажется в плоскости. Этот контраст показывает, зачем нужны обе проверки.