Определение взаимного расположения для двух плоскостей в призме — задания с разбором, 10 класс

Пять неверных рассуждений

1. «Основания ABC и A₁B₁C₁ пересекаются по прямой AA₁».
2. «Плоскости ABB₁ и ACC₁ параллельны, ведь обе вертикальны».
3. «Плоскость ABC совпадает с ABB₁, потому что содержит ребро AB».
4. «Плоскости BCC₁ и ABB₁ не могут пересекаться: у них разные названия».
5. «Плоскости (A,B,C) и (C,B,A) всегда различны из-за порядка букв».

Почему это ошибки

1. Нет: z=0 и z=5 параллельны, общей точки нет; AA₁ — боковое ребро.
2. Нет: y=0 и x=0 пересекаются по AA₁ (x=0, y=0).
3. Нет: они содержат AB, но z=0 и y=0 — разные плоскости, пересекающиеся по AB.
4. Нет: 3x+4y=12 и y=0 дают x=4, их общая прямая BB₁.
5. Нет: те же три неколлинеарные точки определяют ту же плоскость z=0.

Тренировочные задания по реальной модели призмы

1. Найдите взаимное положение плоскостей ABC и A₁B₁C₁.
2. Найдите общую прямую плоскостей ABC и ABB₁.
3. Найдите общую прямую плоскостей ABC и ACC₁.
4. Найдите общую прямую плоскостей ACC₁ и BCC₁.
5. Найдите общую прямую плоскостей ABB₁ и BCC₁.
6. Найдите общую прямую плоскостей ABB₁ и ACC₁.
7. Параллельны ли плоскости ABC и BCC₁?
8. Совпадают ли плоскости ABA₁ и ABB₁?
9. Могут ли две различные плоскости иметь две пересекающиеся общие прямые?
10. Плоскости z=0 и z=5 пересекает плоскость y=0. Сравните линии пересечения.
11. Определите взаимное положение плоскостей ABC и AB₁C₁.
12. Почему нельзя утверждать, что плоскости ABC и AB₁C₁ пересекаются по AB?
13. Найдите взаимное положение плоскостей ABC и BCB₁.
14. Докажите, что боковые плоскости ABB₁ и ACC₁ не совпадают.

Ключ и обоснования

1. Параллельны и различны: z=0 и z=5.
2. AB: y=0, z=0.
3. AC: x=0, z=0.
4. CC₁: x=0, y=3.
5. BB₁: y=0, x=4.
6. AA₁: x=0, y=0.
7. Нет: пересекаются по BC; z=0 и 3x+4y=12.
8. Да: обе y=0, поскольку A, B, A₁, B₁ лежат в одной боковой плоскости.
9. Нет: две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость, тогда плоскости совпадают.
10. Получаются AB (y=0,z=0) и A₁B₁ (y=0,z=5); эти прямые параллельны.
11. Пересекаются по прямой, проходящей через A, но не совпадают: B₁,C₁ имеют z=5, A имеет z=0; их пересечение с z=0 — прямая через A, параллельная B₁C₁ (и BC).
12. B имеет z=0, но в плоскости AB₁C₁ не лежит. Например, плоскость AB₁C₁: 5(3x+4y)−12z=0; для B левая часть 60, не ноль.
13. Пересекаются по BC: первая z=0, вторая 3x+4y=12.
14. B=(4;0;0) принадлежит y=0, но не принадлежит x=0; значит плоскости разные и пересекаются по AA₁.

Рассуждаем по геометрии, а не по рисунку

В прямой треугольной призме два основания лежат в различных параллельных плоскостях. Их соответствующие стороны тоже параллельны, но боковые грани имеют попарно разные плоскости, пересекающиеся по вертикальным рёбрам призмы. Например, ABB₁A₁ и ACC₁A₁ содержат одну и ту же прямую AA₁; называть их параллельными неверно, хотя обе плоскости вертикальны.

Чтобы установить пересечение двух плоскостей, достаточно найти две их общие различные точки. По двум точкам определяется прямая, которая лежит в обеих плоскостях. Однако наличие одной общей точки для доказательства конкретной линии недостаточно: нужно показать ещё одну общую точку или решить систему уравнений плоскостей.

Для плоскостей y=0 и 3x+4y=12 совместное решение даёт y=0 и x=4. Координата z свободна, поэтому пересечение — вся вертикальная прямая через B=(4;0;0) и B₁=(4;0;5), то есть BB₁. Это позволяет строго доказать ответ, не полагаясь на непропорциональность длин на схематичном рисунке.

Как проверять более трудные ответы

Особого внимания заслуживает плоскость, проведённая через A, B₁ и C₁. Она не совпадает с нижним основанием: точки B₁ и C₁ имеют высоту 5, тогда как нижнее основание имеет z=0. Найдя уравнение 5(3x+4y)−12z=0 и положив z=0, получаем 3x+4y=0. Следовательно, эта плоскость пересекает основание по прямой через A, параллельной стороне BC. Это пример, когда линия пересечения не является ребром призмы.

Типичная ошибка при работе с рисунком — считать, что любая линия пересечения двух плоскостей обязана совпадать с уже обозначенным ребром. В действительности плоскости могут пересекаться по прямой, проходящей через точки за пределами нарисованных граней. Поэтому при задании плоскостей по трём точкам геометрическая бесконечная плоскость отличается от ограниченной треугольной или четырёхугольной грани тела.