Нахождение угла между объектами в модели прямоугольного параллелепипеда — задания с разбором, 10 класс

Ситуация и исходные размеры

Для устойчивости стеллажей сравнивают наклон пространственной распорки от нижнего переднего угла к противоположному верхнему. Договоримся: длина a направлена слева направо, ширина b — вглубь, высота h — вертикально. Корпус прямоугольный, углы между рёбрами прямые.

Все величины указаны в дециметрах, а углы округляем до сотых долей градуса. При оформлении самостоятельной работы длины оставляйте точными, а углы при необходимости записывайте через arccos перед округлением.

Построение модели и необходимые соотношения

В прямоугольном основании d²=a²+b². Для диагонали корпуса D²=d²+h²=a²+b²+h². Если α — острый угол между D и её проекцией d на пол, то cos α=d/D; угол β между диагональю D и вертикалью удовлетворяет α+β=90°. Эти формулы следуют из прямоугольного треугольника с катетами d и h.

При поиске угла между диагональю основания и одним из горизонтальных рёбер используйте отдельно прямоугольный треугольник основания. Заменять d величиной D нельзя: получится угол к пространственному, а не к горизонтальному направлению.

Вопросы к таблице

1. По таблице найдите диагональ нижней грани шкафа А.
2. Найдите пространственную диагональ шкафа А.
3. Каков угол между нижней диагональю А и ребром основания длиной 6 дм?
4. Каков угол между нижней диагональю А и ребром основания длиной 8 дм?
5. Найдите угол между пространственной диагональю А и её ортогональной проекцией на основание.
6. Каков угол между пространственной диагональю А и вертикальным ребром?
7. Найдите диагональ основания шкафа Б.
8. Найдите пространственную диагональ шкафа Б.
9. Каков угол пространственной диагонали Б к основанию?
10. У какого шкафа наклон пространственной диагонали к основанию больше? На сколько приблизительно градусов?
11. Если шкаф А уменьшить вдвое по каждому измерению, изменится ли угол между его диагональю и основанием?
12. Ученица утверждает: «У шкафа Б диагональ 25 дм, значит её угол к вертикали больше, чем у шкафа А с диагональю 26 дм». Проверьте утверждение.

Ключ инженера: расчёты и проверка единиц

1. Основание имеет стороны 6 и 8 дм, поэтому диагональ √(6²+8²)=10 дм.
2. √(6²+8²+24²)=√676=26 дм.
3. cos φ=6/10=3/5, откуда φ≈53,13°.
4. cos φ=8/10=4/5, поэтому φ≈36,87°. Оба угла в прямоугольном основании дополняют друг друга до 90°.
5. Проекция имеет длину 10 дм, пространственная диагональ 26 дм; cos φ=10/26=5/13, φ≈67,38°.
6. cos φ=24/26=12/13; φ≈22,62°. Сумма с углом к основанию 90°.
7. Стороны 9 и 12 дм дают √(81+144)=15 дм.
8. √(9²+12²+20²)=√625=25 дм.
9. cos φ=15/25=3/5; φ≈53,13°.
10. А: 67,38°, Б: 53,13°. У шкафа А угол больше примерно на 14,25°.
11. Нет: отношение высоты к диагонали основания останется 24/10=12/5. При равномерном масштабировании углы не изменяются.
12. У шкафа Б угол к вертикали 90°−53,13°≈36,87°; у А ≈22,62°. Численный вывод верен для этих размеров, но аргумент только по длине диагонали неверен: необходимы отношения проекций.

Проверка разумности результатов

Высота шкафа А заметно превышает размеры основания: пространственная диагональ должна быть ближе к вертикали, а её угол к основанию — больше 45°. Так и получилось: около 67,38°. У шкафа Б высота только немного больше диагонали основания, поэтому угол меньше — 53,13°. Это проверка масштаба, которая позволяет обнаружить перепутанные отношение cos и sin.

Отметим границы метода: прямоугольность стеллажа необходима. В наклонном параллелепипеде равенство D²=a²+b²+h² вообще говоря неверно: требуется учитывать углы между направлениями. По итогам расчётов можно рекомендовать повторить теорему Пифагора в пространстве, если ошибочно найденная диагональ оказалась короче одного из рёбер.

Оценивание: задания 1–4 по 1 баллу, 5–10 по 2 балла, 11–12 по 3 балла; всего 22 балла. За неверные единицы длины снимайте балл лишь в заданиях о длинах, а за углы проверяйте обозначение градуса.

Альтернативная проверка через тангенс и пропорции

Угол наклона распорки к основанию можно найти двумя эквивалентными способами. В треугольнике «основание — высота — пространственная диагональ» имеем tan α=h/d. Для шкафа А это 24/10=12/5, для шкафа Б — 20/15=4/3. Независимо получаем α≈67,38° и α≈53,13°, что подтверждает вычисления через косинус. Такой двойной расчёт полезен, поскольку распространённая ошибка — перепутать отношение высоты и проекции: tan α=d/h соответствует дополнительному углу к вертикали, а не к основанию.

Сравнивать углы можно даже без калькулятора. Для острых углов тангенс возрастает при увеличении угла от 0° до 90°. Поскольку 12/5 больше 4/3, угол распорки шкафа А к основанию больше угла шкафа Б. Это заключение не требует округлять исходные длины и сохраняется, даже если обе модели увеличить или уменьшить в одинаковое число раз. В реальном чертеже масштабы осей должны быть одинаковыми, иначе визуальная проверка становится ненадёжной.

Ещё одна контрольная проверка связана с единицами. Диагонали найдены в дециметрах, поэтому сравнивать их с величинами, записанными в сантиметрах, нужно только после перевода к одной единице: 26 дм — это 260 см, а не 26 см. Углы, напротив, безразмерны; их величина в градусах никак не зависит от единиц измерения длин. Если бы вместо дециметров все размеры указали в метрах, но сохранили те же пропорции, углы не изменились бы.

При составлении собственного варианта попробуйте выбрать размеры основания, образующие тройку Пифагора, например 5, 12, 13, и подобрать высоту так, чтобы пространственная диагональ тоже выражалась целым числом. Это позволит сначала получить точный результат, а потом сравнить его с приближённым. Главный предмет задания — не поиск самой длинной диагонали, а грамотное определение угла двух направлений и проверка, какая из прямых рассматривается.