Нахождение угла между объектами по описанию трёхмерной фигуры: мини-практикум с ответами, 10 класс

Вариант А. Куб по словесному описанию

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁ имеет ребро 2 см; нижняя грань ABCD, верхняя A₁B₁C₁D₁, вертикальные рёбра соединяют одноимённые вершины. Угол между прямыми при необходимости находим посредством параллельного переноса направлений. Для проверки можете взять A=(0;0;0), B=(2;0;0), D=(0;2;0), A₁=(0;0;2).

Перед каждым решением отметьте, какие две прямые сравниваются и пересекаются ли они. Если они скрещиваются, перенесите одну параллельно самой себе в общую точку: угол от этого не изменится.

1. Куб: определите угол между AB и AD.
2. Куб: найдите угол между AB и AC.
3. Куб: угол между AB и BB₁.
4. Куб: угол между AA₁ и AC₁.
5. Куб: угол между AC и B₁D₁.
6. Куб: угол между AB₁ и AD₁.
7. Куб: угол между AC₁ и BD.
8. Куб: угол между AC₁ и AB.

Вариант Б. Прямая треугольная призма

Основание призмы ABCA₁B₁C₁ — равносторонний треугольник со стороной 4 см. Боковые рёбра AA₁, BB₁, CC₁ перпендикулярны плоскости основания и равны 4 см. Это не куб: в основании углы по 60°. Удобная вспомогательная формула для пространственных диагоналей: квадрат длины равен сумме квадратов горизонтальной проекции и вертикальной составляющей.

9. Призма: найдите угол между AB и AC в основании.
10. Призма: найдите угол между AB и AA₁.
11. Призма: найдите угол между AB и AB₁.
12. Призма: найдите угол между A₁B₁ и AC.
13. Призма: найдите угол между AC и AB₁.
14. Призма: найдите угол между AB₁ и BB₁.
15. Призма: найдите угол между BC и B₁C₁.
16. Призма: найдите угол между AB₁ и AC₁.

Сверка решений варианта А

1. Соседние рёбра нижней квадратной грани перпендикулярны: 90°.
2. AC — диагональ квадрата ABCD, она делит прямой угол у A пополам. 45°.
3. Горизонтальное ребро и вертикальное боковое ребро имеют угол 90°.
4. Направление AC₁ имеет равные компоненты вдоль трёх осей. cos φ=1/√3, φ=arccos(1/√3)≈54,74°.
5. Диагонали параллельных квадратных граней имеют взаимно перпендикулярные направления (1;1;0) и (−1;1;0). 90°.
6. Направления (1;0;1) и (0;1;1), длины по √2; произведение 1. cos φ=1/2. 60°.
7. Векторы (1;1;1) и (−1;1;0) имеют нулевое произведение. 90°.
8. cos φ=1/√3, откуда ≈54,74°; нельзя использовать 45°, как для диагонали одной грани.

Взаимная проверка варианта Б

9. Треугольник ABC равносторонний, поэтому 60°.
10. Призма прямая, поэтому боковые рёбра перпендикулярны основанию. 90°.
11. В прямоугольном треугольнике ABB₁ катеты AB=BB₁=4, значит угол при A равен 45°.
12. A₁B₁ параллельно AB, а ∠BAC=60°, поэтому угол 60°.
13. AB₁=4√2. Проекция AB₁ на AB имеет длину 4, а проекция AC на AB — 2. cos φ=(4·2)/(4·4√2)=1/(2√2); φ≈69,30°.
14. В прямоугольном треугольнике ABB₁ равные катеты; угол между диагональю и вертикалью 45°.
15. Рёбра параллельны и сонаправлены при одинаковом порядке вершин. Угол между прямыми 0°.
16. Скалярное произведение векторов AB₁ и AC₁ равно AB·AC + AA₁² = 4·4·cos60° +16=8+16=24. Их длины 4√2, значит cos φ=24/32=3/4 и φ≈41,41°.

Почему похожие ответы возникают по разным причинам

В кубе угол 45° обычно появляется у диагонали квадратной грани. В прямой треугольной призме такой же угол возникает у диагонали прямоугольной боковой грани, когда её ширина равна высоте. Правильное число без обоснования не показывает, какая геометрическая фигура использована.

Частая ловушка — признать две скрещивающиеся прямые «не имеющими угла». Угол между прямыми в пространстве определяется и для них: следует выбрать параллельные направления с общей точкой. И наоборот, пространственная диагональ и диагональ грани — разные объекты, поэтому 45° нельзя переносить на все диагонали автоматически.

Контрольный критерий: по 1 баллу за каждый верный угол и ещё по 1 за объяснение в № 4–8, 13, 16. Максимум 23 балла. Если геометрические описания путаются, начните с подписывания вершин нижней и верхней граней и выделения проекций.

Разбор текстового описания без рисунка

Для куба удобно восстанавливать геометрию по цепочке: сначала квадрат ABCD, затем параллельный ему квадрат A₁B₁C₁D₁ и, наконец, вертикальные соединения AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Если из условия встречаются AC и AC₁, не смешивайте их: первый отрезок лежит в основании, а второй соединяет противоположные вершины всего тела. Поэтому угол с ребром AB для них различен: соответственно 45° и arccos(1/√3).

Для треугольной призмы та же последовательность начинается не с квадрата, а с равностороннего треугольника ABC. Прямота призмы означает ортогональность боковых рёбер плоскости основания, но вовсе не прямоугольность самой нижней грани. Угол между AB и AC равен 60°, тогда как диагональ прямоугольной боковой грани ABB₁A₁ даёт 45° с AB. Две равные по длине горизонтальные составляющие могут создавать совсем другие пространственные углы при сложении с вертикальной компонентой.

Взаимная проверка вариантов: сопоставьте способ решения кубических задач через векторы с планиметрическими рассуждениями о квадрате и равностороннем треугольнике. Оба способа должны дать один результат. Если в пространственной задаче появляется величина более 90° в качестве угла между прямыми, замените её меньшим смежным углом. Если получился 0°, убедитесь, что направления действительно параллельны.