Восстановление условия перпендикулярности при общей точке двух прямых — тренажёр для 10 класса

Подозрительное утверждение

«Если две пересекающиеся прямые на рисунке образуют почти прямой угол, их можно считать перпендикулярными». Утверждение ложно: математическая перпендикулярность требует прямого угла точно 90°. Небольшая разница, например 89° или 91°, делает заключение неверным. В измерительных задачах может обсуждаться погрешность, но это уже не строгое доказательство.

Для направлений u=(u₁;u₂;u₃) и v=(v₁;v₂;v₃) с общей начальной точкой необходимое и достаточное условие: u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃=0, при этом оба вектора ненулевые. Если же известны стороны треугольника OAB, используйте обратную теорему Пифагора: OA²+OB²=AB² означает прямой угол при O.

При подборе неизвестного сначала запишите уравнение для скалярного произведения, затем решите его. После этого обязательно проверьте, не стал ли какой-либо направляющий вектор нулевым: нулевой вектор не задаёт прямую. Это особенно важно в параметрических задачах, где найденное значение может занулить все координаты сразу.

Особые случаи до вычислений

Следует различать три ситуации: ортогональные ненулевые векторы дают прямые под 90°; параллельные ненулевые векторы дают угол 0° между прямыми; нулевой вектор вообще не определяет направление. Отсутствие чертежа не мешает доказательству через координаты.

12 задач с обязательным обоснованием

1. Лучи OA и OB пересекаются в O; измеренный угол равен 91°. Достаточно ли того, что на рисунке они выглядят перпендикулярными?
2. Направления OA=(2;1;0) и OB=(t;−4;0). При каком t прямые перпендикулярны?
3. OA=(1;2;2), OB=(4;−t;0). Восстановите t при условии ∠AOB=90°.
4. OA=(3;4;0), OB=(4;−3;k). Найдите все k, при которых прямые перпендикулярны.
5. OA=(2;0;1), OB=(t;1;−4). Каков t для прямого угла?
6. OA=(1;−1;2), OB=(3;1;t). Найдите параметр t и проверьте ответ.
7. Ученик утверждает, что OA=(1;1;1) и OB=(1;1;1) перпендикулярны, потому что их концы могут лежать в разных плоскостях. Найдите ошибку.
8. OA=(1;0;0) и OB=(0;5;−7). Нужно ли знать длины для доказательства перпендикулярности?
9. A=(0;0;0), B=(2;1;1), C=(1;t;0). При каком t угол BAC прямой?
10. OA и OB — два ненулевых луча с углом α. Луч OC противоположен OB. При каком α линии OA и OC будут перпендикулярны?
11. В треугольнике OAB: OA=5, OB=12, AB=13. Докажите, что OA⊥OB.
12. В треугольнике OAB даны OA=6, OB=8, AB=9. Прав ли ученик, объявивший угол при O прямым?

Ключ с доказательствами

1. Нет. По определению нужна величина точно 90°. Если измерение 91° точное, прямые не перпендикулярны. Рисунок не является доказательством.
2. Для ненулевых векторов требуется скалярное произведение 0: 2t−4=0. t=2; тогда OB=(2;−4;0) ≠ 0.
3. Произведение 4−2t=0. t=2; направления не нулевые.
4. Произведение 12−12+0·k=0 для любого k. Любое действительное k подходит; OB не может стать нулевым.
5. 2t+0−4=0, значит t=2. При этом OA и OB ненулевые.
6. 1·3+(−1)·1+2t=2+2t. Условие 2+2t=0 даёт t=−1. Подстановка возвращает ноль.
7. Векторы совпадают и задают одну прямую. Их произведение 3 ≠ 0; угол равен 0°, не 90°. Наличие разных плоскостей на словах не заменяет конкретные направления.
8. Нет: u·v=0. Оба вектора ненулевые, поэтому направления ортогональны. Прямой угол доказан без вычисления длин.
9. AB=(2;1;1), AC=(1;t;0). AB·AC=2+t, поэтому t=−2. Векторы ненулевые.
10. Угол между OA и OC равен 180°−α; он прямой тогда и только тогда, когда 180°−α=90°, то есть α=90°. Замена на противоположный луч не создаёт перпендикулярность.
11. 5²+12²=25+144=169=13². По обратной теореме Пифагора угол при O равен 90°, следовательно OA⊥OB.
12. Нет: 6²+8²=100, а 9²=81. Условия обратной теоремы Пифагора нет. Перпендикулярность не подтверждается и фактически отсутствует.

Вывод и обратная проверка

Для задач с параметром подставьте найденное число в обе тройки координат и убедитесь, что произведение обнуляется, а длины направлений отличны от нуля. Для задачи со сторонами используйте также проверку существования треугольника. Одного равенства квадратов недостаточно, если сами длины не соответствуют корректному условию о трёх точках.

Оценивание: задания 1, 6, 7, 8, 10, 12 — по 2 балла за решение и объяснение; задания 2–5, 9, 11 — по 3 балла за запись условия, вычисление и проверку. Итого 30 баллов. По ошибкам легко различить непонимание определения, арифметическую ошибку и неверную работу с параметром.

Строгое доказательство и особые случаи

Условие u·v=0 — не просто удобная вычислительная привычка. По формуле u·v=|u|·|v|·cos φ и положительности длин ненулевых направляющих следует: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos φ=0. Для угла от 0° до 180° это означает φ=90°. Обратный переход такой же: если прямые перпендикулярны, значение косинуса прямого угла равно нулю и скалярное произведение исчезает. Поэтому критерий работает в обе стороны.

Не путайте угол между двумя прямыми с условием перпендикулярности прямой и целой плоскости. Чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, недостаточно проверить одну линию в ней: она может оставаться наклонной относительно другой. Признак требует перпендикулярности двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости. В этом практикуме проверяется только пара прямых с общей точкой, поэтому одно корректное скалярное произведение полностью решает соответствующий вопрос.

Нередко правильный ответ для параметра не является единственным. В задаче, где произведение обращается в ноль тождественно, требовать одно число было бы математической ошибкой: все допустимые значения параметра равноправны. Но даже тождественный нуль нужно сопровождать проверкой, что оба вектора не превращаются в нулевые. Напротив, если после упрощения остаётся ненулевое постоянное число, значений параметра вообще нет. Эти три исхода — единственное решение, любое значение или отсутствие решений — стоит различать до оформления ответа.

Задачи с длинами сторон полезны как независимое доказательство. У прямоугольного треугольника OA²+OB²=AB², если прямой угол находится при O, а AB — противоположная сторона. Если равенство не выполняется, правого угла в O быть не может. Однако сначала убедитесь, что три положительных длины действительно могут образовать треугольник. Это предотвращает неверное применение теоремы к произвольным числам и повторяет связь геометрии с алгебраическим критерием.