Восстановление условия перпендикулярности по описанию трёхмерной фигуры — задания с разбором, 10 класс

Правила теста и баллы

На вопросы 1, 2, 4, 5, 8 достаточно короткого ответа с одним обоснованием — по 1 баллу. На вопросы 3, 6, 9, 11 — по 2 балла. В вопросах 7, 10 и 12 необходимо доказательство — по 3 балла. Максимум 22 балла. Запишите ответы прежде, чем перейти к ключу.

При необходимости используйте скалярное произведение u·v=0 для двух ненулевых направляющих. Для доказательства прямой, перпендикулярной плоскости, достаточно установить её перпендикулярность двум пересекающимся прямым этой плоскости. Не забывайте, что не всякое пересечение прямых даёт прямой угол.

Тест: 12 вопросов

1. В прямой призме боковое ребро AA₁ перпендикулярно основанию ABC. Верно ли AA₁⊥AB? (да/нет)
2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD вершина S находится над центром O основания. Какая из прямых гарантированно перпендикулярна основанию: SO или SA?
3. Даны u=(1;2;−1) и v=(2;0;t), выходящие из общей точки. При каком t получим прямой угол?
4. В прямоугольном параллелепипеде a=5, b=5, h=7. Перпендикулярны ли диагонали нижней грани?
5. Та же фигура, но a=5, b=7. Верно ли утверждение ученика «диагонали любого прямоугольника перпендикулярны»?
6. Правильная треугольная призма прямая. Перпендикулярно ли боковое ребро BB₁ ребру AC, если они не пересекаются? Что значит ваш ответ?
7. В тетраэдре ABCD известно AB⊥AC и AB⊥AD. Что ещё необходимо знать, чтобы заключить AB⊥(ACD)?
8. Могут ли совпадающие прямые составлять угол 90°?
9. У куба с началом координат в A заданы AB=(2;0;0) и AC₁=(2;2;2). Найдите условие их перпендикулярности и проверьте его.
10. В пирамиде SABC основание ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом A, а SA⊥(ABC). Докажите SB⊥AC.
11. Векторы u=(t;1;1) и v=(0;1;−1) задают прямые с общей точкой. Для каких t они перпендикулярны?
12. Три взаимно перпендикулярных ребра OA, OB, OC выходят из O. Может ли OA+OB быть перпендикулярен OC? Обоснуйте.

Ответы с короткими доказательствами

1. Да. Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра A.
2. SO: по определению правильной пирамиды высота проходит через центр квадрата. SA — боковое ребро и, вообще говоря, наклонено.
3. u·v=2−t, поэтому t=2. Оба направляющих ненулевые.
4. Да. Нижняя грань — квадрат; его диагонали перпендикулярны. Высота 7 не влияет.
5. Нет. Для векторов (5;7) и (−5;7) произведение −25+49=24 ≠ 0.
6. Их направляющие взаимно перпендикулярны, поскольку BB₁ перпендикулярно плоскости основания. Угол между прямыми 90°, хотя они могут быть скрещивающимися.
7. Нужно, чтобы AC и AD были двумя пересекающимися прямыми одной плоскости; они пересекаются в A и лежат в (ACD). Тогда по признаку AB⊥(ACD).
8. Нет. Угол между совпадающими прямыми 0°. Один только нулевой вектор не задаёт прямую и не является исключением.
9. Необходим u·v=0, но здесь u·v=4. Прямого угла нет. Пространственная диагональ не перпендикулярна исходящему из её вершины ребру.
10. AC перпендикулярна и AB (по условию), и AS (так как SA⊥плоскости основания). Значит AC⊥(SAB), а SB лежит в этой плоскости. По направлениям SB⊥AC.
11. u·v=t·0+1−1=0 для любого t, причём оба вектора ненулевые. Для всех действительных t.
12. Да, всегда. (OA+OB)·OC=OA·OC+OB·OC=0+0=0, а OA+OB ненулевой вектор, поскольку слагаемые ненулевые и взаимно перпендикулярны.

Разбор спорных ситуаций

Вопрос 6 проверяет понимание скрещивающихся прямых: линии могут не иметь общей точки, но угол между их направлениями всё равно определён. Вопрос 7 проверяет признак перпендикулярности прямой и плоскости: перпендикулярность двум пересекающимся прямым нельзя заменять перпендикулярностью двум произвольным параллельным прямым. Наконец, в вопросе 10 используются два последовательных перехода: от отдельной прямой к плоскости и обратно к линии, лежащей в плоскости.

Оценка: 19–22 балла — уверенное понимание, 15–18 — повторите доказательства с плоскостями, 10–14 — ещё раз проработайте координаты и построения, ниже 10 — начните с направлений рёбер и формулировки определения. Ошибки в вопросах 3 и 11 означают, что нужно проверить работу со скалярным произведением при параметре.