Сравнение зависимых событий при использовании дерева вероятностей — проверочная работа по математике, 10 класс

10 класс · Практическая карточка. Два последовательных извлечения без возвращения: второй шаг зависит от первого. Для каждого варианта используйте дерево условных вероятностей, затем сопоставьте разные события.

Учебная цель: читать ветви дерева, сравнивать условные и совместные вероятности, различать «ровно одно» и «хотя бы одно».

Памятка для самостоятельной работы

Если в коробке r красных и b синих предметов (n = r + b), то первая красная ветвь имеет вероятность r/n. После красного предмета остаётся r − 1 красных из n − 1, а после синего — r красных из n − 1. Вероятность полного пути равна произведению вероятностей его ветвей; несовместные пути складывают. Ветви одного уровня после данного события в сумме дают 1.

Важно. Порядок извлечений учитывается: путь «красный — синий» не совпадает с путём «синий — красный», хотя они могут иметь равные вероятности. Предметы одного цвета рассматриваются как отдельные равновозможные объекты.

Вариант А

В непрозрачной коробке 5 красных и 3 синих жетона. Два жетона извлекают по одному, не возвращая первый. Запишите путь буквами К и С. Решите восемь заданий; расчёты оформите дробями.

Задания ученику

1. Определите вероятность красного жетона на первом шаге.
2. После первого красного найдите условную вероятность второго красного.
3. После первого синего найдите условную вероятность второго красного.
4. Вычислите вероятность двух красных: заполните строку К → К.
5. Вычислите вероятность пути К → С и сравните с С → К.
6. Какова вероятность ровно одного красного?
7. Сравните события «ровно один красный» и «оба красные». Какое вероятнее?
8. Вычислите вероятность «хотя бы один красный» через дополнение; проверьте суммой ветвей.

Ключ и пояснения

1. 5/8 = 5/8. В первом опыте благоприятны 5 из 8 объектов.
2. Осталось 4 красных из 7: 4/7.
3. Красных по-прежнему 5, всего 7: 5/7.
4. 5/8 · 4/7 = 5/14.
5. К → С: 15/56; С → К: 15/56. Значения равны: r·b/[n(n−1)] в обоих случаях.
6. Складываем непересекающиеся пути К → С и С → К: 15/56 + 15/56 = 15/28.
7. Вероятности соответственно 15/28 и 5/14; первое. Это проверяется сравнением дробей.
8. 1 − P(С → С) = 1 − 3/28 = 25/28. По дереву 5/14 + 15/56 + 15/56 = 25/28.

Контроль дерева: 5/14 + 15/56 + 15/56 + 3/28 = 1. При переходе к другому варианту не переносите готовые доли: исходные численности изменились.

Вариант Б

В непрозрачной коробке 3 красных и 6 синих жетона. Два жетона извлекают по одному, не возвращая первый. Запишите путь буквами К и С. Решите восемь заданий; расчёты оформите дробями.

Задания ученику

1. Определите вероятность красного жетона на первом шаге.
2. После первого красного найдите условную вероятность второго красного.
3. После первого синего найдите условную вероятность второго красного.
4. Вычислите вероятность двух красных: заполните строку К → К.
5. Вычислите вероятность пути К → С и сравните с С → К.
6. Какова вероятность ровно одного красного?
7. Сравните события «ровно один красный» и «оба красные». Какое вероятнее?
8. Вычислите вероятность «хотя бы один красный» через дополнение; проверьте суммой ветвей.

Ключ и пояснения

1. 3/9 = 1/3. В первом опыте благоприятны 3 из 9 объектов.
2. Осталось 2 красных из 8: 1/4.
3. Красных по-прежнему 3, всего 8: 3/8.
4. 3/9 · 2/8 = 1/12.
5. К → С: 1/4; С → К: 1/4. Значения равны: r·b/[n(n−1)] в обоих случаях.
6. Складываем непересекающиеся пути К → С и С → К: 1/4 + 1/4 = 1/2.
7. Вероятности соответственно 1/2 и 1/12; первое. Это проверяется сравнением дробей.
8. 1 − P(С → С) = 1 − 5/12 = 7/12. По дереву 1/12 + 1/4 + 1/4 = 7/12.

Контроль дерева: 1/12 + 1/4 + 1/4 + 5/12 = 1. При переходе к другому варианту не переносите готовые доли: исходные численности изменились.

Комментарий учителю

Предложите ученикам вслух назвать событие, от которого зависит знаменатель второй ветви. Если ответ взят из первоначального состава коробки, это ошибка смешения независимого и зависимого выбора. Сначала оцените корректность четырёх путей, затем вычисления. Для печати можно закрыть блок с ключами при раздаче.

Как оценивать собственный ответ

До расчёта определите, изменился ли состав коробки после первого действия. Если изменился, вероятность на втором уровне должна иметь знаменатель на единицу меньше. После расчёта сравните вероятность второго красного после первого красного и после первого синего: они должны различаться, поскольку в первом случае красных осталось меньше. Совпадение двух дробей обычно означает неверное использование исходного состава. Для события «ровно один красный» нужно два порядка, а для «два красных» — только один путь. Ни один из четырёх полных путей не должен получить отрицательную вероятность, а их сумма всегда единица.