Восстановление количества благоприятных исходов при выборе из двух урн: самостоятельная работа, 10 класс

10 класс · Практическая карточка. Две урны выбирают с неравными вероятностями, затем случайно выбирают один предмет внутри выбранной урны. Неизвестное число предметов восстанавливают из общей вероятности успеха.

Учебная цель: составлять уравнение полной вероятности и проверять, что восстановленное количество целое и находится в пределах ёмкости урны.

Исследование: одинаковы ли все предметы по шансам?

Урну A выбирают с вероятностью 1/3, урну Б — с вероятностью 2/3. В урне A 5 жетонов, из них 2 отмечены. В урне Б 6 жетонов; число отмеченных x пока неизвестно. После выбора урны случайно берут один жетон. Известно, что общая вероятность отметки равна 7/15.

Равенство полной вероятности: (1/3)·(2/5) + (2/3)·(x/6) = 7/15. Отсюда 2/15 + x/9 = 7/15; x/9 = 1/3; x = 3. Проверяем допустимость: x — целое, 0 ≤ x ≤ 6, а 2/15 + 1/3 = 7/15.

Первые пять заданий — разбор основной модели

1. Объясните, почему для этой схемы неверно сразу делить общее число отмеченных предметов на общее число предметов.
2. Какую вероятность даёт ветвь «выбрана A и извлечён отмеченный»?
3. Найдите неизвестное количество отмеченных в Б и выполните проверку.
4. При условии отметки найдите вероятность того, что выбрана урна Б.
5. Рассчитайте вероятность НЕ получить отмеченный предмет двумя способами.

Проверка основной модели

1. Сначала выбирают урну с вероятностями 1/3 и 2/3, а не один из 11 жетонов равновероятно. Поэтому доля (2 + 3)/11 = 5/11 не равна 7/15.
2. P(A ∩ отметка) = (1/3)·(2/5) = 2/15.
3. x = 3. В Б вероятность отметки 3/6 = 1/2; итог 2/15 + (2/3)·(1/2) = 7/15.
4. P(Б | отметка) = [(2/3)·(3/6)]/(7/15) = (1/3)/(7/15) = 5/7.
5. 1 − 7/15 = 8/15. Или (1/3)·(3/5) + (2/3)·(3/6) = 1/5 + 1/3 = 8/15.

Вторая модель: неизвестное количество в урне A

Урну A выбирают с вероятностью 3/4; в ней 8 жетонов, из них y отмечены. В урне Б 6 жетонов, из которых отмечены 2. Общая вероятность отметки — 11/24. Все предметы внутри каждой урны равновозможны.

1. Составьте уравнение, связывающее y и общую вероятность.
2. Восстановите y и проверьте границы.
3. Найдите вероятность выбора A при условии, что взят отмеченный предмет.
4. Если ошибочно считать все 14 жетонов равновозможными, какая получится доля и почему она не подходит?

Решения второй модели

1. (3/4)·(y/8) + (1/4)·(2/6) = 11/24, то есть 3y/32 + 1/12 = 11/24.
2. 3y/32 = 11/24 − 1/12 = 3/8; y = 4. Проверка: 0 ≤ 4 ≤ 8, целое.
3. P(A | отметка) = [(3/4)·(4/8)]/(11/24) = (3/8)/(11/24) = 9/11.
4. (4 + 2)/(8 + 6) = 3/7. Она не учитывает выбор урны с вероятностью 3/4 вместо пропорционального размерам выбора.

Пять коротких случаев: найдите пропущенное число

1. Выбор A: 1/2; в A 1 из 6 отмечены; выбор Б: 1/2, в Б 8 жетонов. Известно P(отметка) = 11/24. Сколько отмеченных в Б?
2. Урну A выбирают с вероятностью 2/5, в ней 4 жетона; в Б 2 отмеченных из 5, урну Б выбирают с вероятностью 3/5. Общая вероятность отметки — 27/50. Найдите отмеченные в A.
3. Выбор A: 1/4; в A 8 из 10 отмечены; выбор Б: 3/4, в Б 6 жетонов. Известно P(отметка) = 13/40. Сколько отмеченных в Б?
4. Урну A выбирают с вероятностью 3/5, в ней 7 жетона; в Б 3 отмеченных из 4, урну Б выбирают с вероятностью 2/5. Общая вероятность отметки — 33/70. Найдите отмеченные в A.
5. Выбор A: 2/3; в A 1 из 3 отмечены; выбор Б: 1/3, в Б 9 жетонов. Известно P(отметка) = 4/9. Сколько отмеченных в Б?

Ответы с подстановкой

1. Из 1/2·1/6 + 1/2·x/8 = 11/24 получаем x = 6. Проверка: 0 ≤ 6 ≤ 8.
2. Уравнение 2/5·x/4 + 3/5·2/5 = 27/50 даёт x = 3; ответ целый и допустимый.
3. Из 1/4·8/10 + 3/4·x/6 = 13/40 получаем x = 1. Проверка: 0 ≤ 1 ≤ 6.
4. Уравнение 3/5·x/7 + 2/5·3/4 = 33/70 даёт x = 2; ответ целый и допустимый.
5. Из 2/3·1/3 + 1/3·x/9 = 4/9 получаем x = 6. Проверка: 0 ≤ 6 ≤ 9.

Вывод по модели

Здесь восстановлено именно количество отмеченных внутри указанной урны, а не число путей на дереве. Если из уравнения вышло отрицательное, дробное или превышающее размер урны значение, исходные данные не соответствуют описанному эксперименту. В условии обязательно должны быть заданы вероятности выбора урн и размеры урн; иначе неизвестное количество может определяться неоднозначно.

Почему уравнение действительно восстанавливает количество

Пусть первоначально вероятность выбора урны A равна p, в ней из n предметов отмечены a. Другую урну выбирают с вероятностью 1 − p; в ней из m предметов отмечены x. Если итоговая вероятность отметки равна q, то математическая модель имеет вид p·a/n + (1 − p)·x/m = q. Когда 0 < p < 1 и m известно, коэффициент при x положителен, поэтому такое уравнение имеет единственное вещественное решение. Но физически пригодно только целое x, удовлетворяющее 0 ≤ x ≤ m. При выборе одной урны с нулевой вероятностью сведения о её содержимом из наблюдений восстановить невозможно.

Для быстрой предварительной проверки без решения уравнения установите границы: наименьшая возможная итоговая вероятность получается при x=0 и равна p·a/n. Наибольшая получается при x=m и равна p·a/n + (1 − p). Если заявленная q лежит вне этого отрезка, исходные сведения противоречат модели. Например, в первой ситуации q должна принадлежать отрезку от 2/15 до 4/5. Значение 7/15 этому условию соответствует. Но даже значение внутри отрезка ещё не гарантирует целое x — требуется вычисление.

Дополнительная проверка касается способа выбора. Если сначала случайно выбирают один из всех предметов обеих урн, то каждый предмет может иметь одинаковый шанс, а доля отмеченных зависит от суммарных количеств. Если же сначала выбирают урну с указанной вероятностью, а затем предмет внутри неё, равновозможность предметов разных урн вообще не гарантируется. Прежде чем считать благоприятные исходы, уточните единичный исход эксперимента.