Восстановление количества благоприятных исходов для двух независимых бросков — математический практикум для 10 класса

10 класс · Практическая карточка. Каждый опыт состоит из двух независимых бросков: первый и второй результат образуют упорядоченную пару (a, b). Для каждого задания восстановите число подходящих пар и соответствующую вероятность.

Учебная цель: перебирать равновозможные пары, применять дополнение и считать сложные условия без повторного учёта.

Метод и договорённость

У честной игральной кости с m гранями значения 1, 2, …, m равновозможны. При двух независимых бросках кубиков с m и n гранями существует m·n равновозможных упорядоченных пар. Первая координата — результат первого броска. Число благоприятных исходов k вычисляем перебором или логическим правилом, а вероятность равна k/(m·n). Нельзя заменять m·n на число неупорядоченных сочетаний: (2,5) и (5,2) различны.

Пример: два шестигранных кубика, сумма равна 5. Подходят пары (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Их 4, всего 36, значит P = 1/9. При разных кубиках количество пар равно произведению числа граней, а не 36 автоматически.

Уровень I — посчитайте прямым перебором

1. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых сумма равна 8, и вероятность.
2. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых оба числа чётные, и вероятность.
3. Первая игральная кость имеет 4 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых сумма больше 7, и вероятность.
4. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых хотя бы одно значение равно 6, и вероятность.
5. Первая игральная кость имеет 4 граней, вторая 4. Найдите число пар, для которых выпали одинаковые значения, и вероятность.
6. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых первый результат больше второго, и вероятность.
7. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 4. Найдите число пар, для которых сумма нечётная, и вероятность.
8. Первая игральная кость имеет 8 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых произведение делится на 4, и вероятность.

Разбор уровня 1

1. Всего 6·6 = 36 пар, подходят 5, примеры: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Поэтому P = 5/36 = 5/36.
2. Всего 6·6 = 36 пар, подходят 9, примеры: (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4). Поэтому P = 9/36 = 1/4.
3. Всего 4·6 = 24 пар, подходят 6, примеры: (2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5). Поэтому P = 6/24 = 1/4.
4. Всего 6·6 = 36 пар, подходят 11, первые подходящие пары: (1,6), (2,6), (3,6). Поэтому P = 11/36 = 11/36.
5. Всего 4·4 = 16 пар, подходят 4, примеры: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4). Поэтому P = 4/16 = 1/4.
6. Всего 6·6 = 36 пар, подходят 15, первые подходящие пары: (2,1), (3,1), (3,2). Поэтому P = 15/36 = 5/12.
7. Всего 6·4 = 24 пар, подходят 12, первые подходящие пары: (1,2), (1,4), (2,1). Поэтому P = 12/24 = 1/2.
8. Всего 8·6 = 48 пар, подходят 22, первые подходящие пары: (1,4), (2,2), (2,4). Поэтому P = 22/48 = 11/24.

Уровень II — сочетайте условия

1. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых сумма делится на 3, и вероятность.
2. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 8. Найдите число пар, для которых ровно одно значение больше 4, и вероятность.
3. Первая игральная кость имеет 4 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых первое число на 2 больше второго, и вероятность.
4. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых произведение больше 18, и вероятность.
5. Первая игральная кость имеет 8 граней, вторая 8. Найдите число пар, для которых максимум двух значений равен 6, и вероятность.
6. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых значения различны, сумма равна 7, и вероятность.
7. Первая игральная кость имеет 8 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых ровно одно число чётное, и вероятность.
8. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 8. Найдите число пар, для которых сумма равна 9 или 10, и вероятность.

Разбор уровня 2

1. Всего 6·6 = 36 пар, подходят 12, первые подходящие пары: (1,2), (1,5), (2,1). Поэтому P = 12/36 = 1/3.
2. Всего 6·8 = 48 пар, подходят 24, первые подходящие пары: (1,5), (1,6), (1,7). Поэтому P = 24/48 = 1/2.
3. Всего 4·6 = 24 пар, подходят 2, примеры: (3,1), (4,2). Поэтому P = 2/24 = 1/12.
4. Всего 6·6 = 36 пар, подходят 8, примеры: (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6). Поэтому P = 8/36 = 2/9.
5. Всего 8·8 = 64 пар, подходят 11, первые подходящие пары: (1,6), (2,6), (3,6). Поэтому P = 11/64 = 11/64.
6. Всего 6·6 = 36 пар, подходят 6, примеры: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2). Поэтому P = 6/36 = 1/6.
7. Всего 8·6 = 48 пар, подходят 24, первые подходящие пары: (1,2), (1,4), (1,6). Поэтому P = 24/48 = 1/2.
8. Всего 6·8 = 48 пар, подходят 11, первые подходящие пары: (1,8), (2,7), (2,8). Поэтому P = 11/48 = 11/48.

Уровень III — проверяйте составное событие

1. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых сумма является простым числом, и вероятность.
2. Первая игральная кость имеет 8 граней, вторая 8. Найдите число пар, для которых сумма равна произведению, и вероятность.
3. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 8. Найдите число пар, для которых оба значения больше 3, разность по модулю равна 1, и вероятность.
4. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых произведение кратно 6, а сумма нечётная, и вероятность.
5. Первая игральная кость имеет 8 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых хотя бы одно значение равно 5, но числа различны, и вероятность.
6. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 6. Найдите число пар, для которых сумма не больше 6, числа различны, и вероятность.
7. Первая игральная кость имеет 8 граней, вторая 8. Найдите число пар, для которых оба значения нечётные, сумма больше 8, и вероятность.
8. Первая игральная кость имеет 6 граней, вторая 8. Найдите число пар, для которых первое значение является делителем второго, и вероятность.

Разбор уровня 3

1. Всего 6·6 = 36 пар, подходят 15, первые подходящие пары: (1,1), (1,2), (1,4). Поэтому P = 15/36 = 5/12.
2. Всего 8·8 = 64 пар, подходят 1, примеры: (2,2). Поэтому P = 1/64 = 1/64.
3. Всего 6·8 = 48 пар, подходят 5, примеры: (4,5), (5,4), (5,6), (6,5), (6,7). Поэтому P = 5/48 = 5/48.
4. Всего 6·6 = 36 пар, подходят 10, примеры: (1,6), (2,3), (3,2), (3,4), (3,6). Поэтому P = 10/36 = 5/18.
5. Всего 8·6 = 48 пар, подходят 12, первые подходящие пары: (1,5), (2,5), (3,5). Поэтому P = 12/48 = 1/4.
6. Всего 6·6 = 36 пар, подходят 12, первые подходящие пары: (1,2), (1,3), (1,4). Поэтому P = 12/36 = 1/3.
7. Всего 8·8 = 64 пар, подходят 6, примеры: (3,7), (5,5), (5,7), (7,3), (7,5). Поэтому P = 6/64 = 3/32.
8. Всего 6·8 = 48 пар, подходят 18, первые подходящие пары: (1,1), (1,2), (1,3). Поэтому P = 18/48 = 3/8.

Самопроверка метода

Для задания на «хотя бы одно» часто быстрее сначала посчитать дополнение и вычесть его из m·n. Для фразы «ровно одно» сумма двух непересекающихся случаев должна исключать ситуацию «оба». В условии о делимости проверяйте само произведение или сумму, а не отдельные значения без связи. Вычисленные ответы относятся к независимым честным броскам; при зависимых экспериментах алгоритм подсчёта вероятности меняется.

Три способа убедиться в правильности подсчёта

Первый способ — составить таблицу пар: по строкам перечислить возможные значения первой кости, по столбцам — второй. Каждая ячейка описывает ровно один элементарный исход, и общее число клеток равно произведению количеств граней. Такой способ удобен для проверки событий с суммой и разностью.

Второй способ — логически посчитать исключения. Для события «хотя бы одна шестёрка» две группы исходов с шестёркой пересекаются в паре (6,6), поэтому нельзя просто сложить размеры групп без вычитания пересечения. Третий способ — воспользоваться дополнением: число исходов без шестёрки вычитают из общего числа.

При проверке результата всегда должны выполняться два ограничения: количество благоприятных пар — целое число от нуля до m·n, а вероятность лежит между нулём и единицей. Если кубики имеют разное число граней, перестановка координат может вывести за пределы второго набора; отдельно проверяйте допустимость каждой пары.