Восстановление начального значения при ограничении максимального значения — мини-практикум с ответами, 10 класс

Математика • 10 класс. Мини-практикум с данными, контрпримером и восстановлением начального параметра при верхнем ограничении.

Наблюдение: одна и та же цифра не всегда даёт одно решение

В школьном проекте измеряют накопленное количество условных единиц. Без ограничения модель имеет вид B(n)=B₀·qⁿ, где B₀>0 и q>1. Но для безопасной работы введён максимум M. Реальное зарегистрированное значение может быть описано формулой C(n)=min(M, B₀·qⁿ). До достижения потолка измерение C(n) совпадает с B(n). На потолке мы узнаём только, что расчётное значение не меньше M, — первоначальное значение часто восстановить однозначно нельзя.

Пример: q=2, M=100, в момент n=1 получено C(1)=60. Поскольку 60<100, B₀=60/2=30, а прогноз на n=2 равен 120 и уже выходит за границу. Другое наблюдение C(2)=100 при том же q не позволяет заключить B₀=25: подходит любое B₀ не меньше 25, если других ограничений нет. Проверка «достигнут потолок или нет» обязательна.

Исследование: откройте правило самостоятельно

Рассмотрите три пары (B₀;q;M): (10;2;45), (18;3/2;80), (24;5/4;40). Рассчитайте первые три значения и отметьте момент, с которого наблюдение перестаёт быть информативным для восстановления B₀. Сформулируйте правило: какое измерение позволяет получить одно значение B₀, а какое — только неравенство?

Проверка наблюдения: для первой пары C(0)=10, C(1)=20, C(2)=40, C(3)=45 вместо 80; для второй C(0)=18, C(1)=27, C(2)=40,5, C(3)=60,75; для третьей C(0)=24, C(1)=30, C(2)=37,5, C(3)=40. Если наблюдение ниже M, B₀ определено по данной модели; если равно M, нужен дополнительный факт.

Карточки 1–10: восстановить и проверить

Для каждого случая примите, что показание, явно указанное как меньше M, не ограничено сверху искусственно. Найдите B₀. Затем проверьте значение необрезанной модели на заданном шаге N и напишите, допускается ли работа по такой модели без корректировки максимума до N включительно.

1. В модели B(n)=B₀·(2)ⁿ измерено B(1)=24 (ниже максимума 110). Восстановите B₀ и проверьте, не превысит ли неконтролируемый прогноз 110 к n=3.
2. В модели B(n)=B₀·(3/2)ⁿ измерено B(1)=24 (ниже максимума 85). Восстановите B₀ и проверьте, не превысит ли неконтролируемый прогноз 85 к n=4.
3. В модели B(n)=B₀·(4/3)ⁿ измерено B(1)=48 (ниже максимума 90). Восстановите B₀ и проверьте, не превысит ли неконтролируемый прогноз 90 к n=3.
4. В модели B(n)=B₀·(5/4)ⁿ измерено B(2)=125/2 (ниже максимума 95). Восстановите B₀ и проверьте, не превысит ли неконтролируемый прогноз 95 к n=4.
5. В модели B(n)=B₀·(2)ⁿ измерено B(2)=96 (ниже максимума 180). Восстановите B₀ и проверьте, не превысит ли неконтролируемый прогноз 180 к n=3.
6. В модели B(n)=B₀·(3/2)ⁿ измерено B(1)=75 (ниже максимума 150). Восстановите B₀ и проверьте, не превысит ли неконтролируемый прогноз 150 к n=3.
7. В модели B(n)=B₀·(5/4)ⁿ измерено B(1)=80 (ниже максимума 130). Восстановите B₀ и проверьте, не превысит ли неконтролируемый прогноз 130 к n=3.
8. В модели B(n)=B₀·(6/5)ⁿ измерено B(2)=432/5 (ниже максимума 130). Восстановите B₀ и проверьте, не превысит ли неконтролируемый прогноз 130 к n=4.
9. В модели B(n)=B₀·(3/2)ⁿ измерено B(2)=72 (ниже максимума 100). Восстановите B₀ и проверьте, не превысит ли неконтролируемый прогноз 100 к n=3.
10. В модели B(n)=B₀·(4/3)ⁿ измерено B(2)=144 (ниже максимума 180). Восстановите B₀ и проверьте, не превысит ли неконтролируемый прогноз 180 к n=4.

Карточки 11–13: ответ может быть диапазоном

11. При q=2 и M=96 известно только C(3)=96. Укажите все допустимые положительные B₀, а не один произвольный ответ.
12. Если модель с q=3/2 должна оставаться не выше M=162 на шагах от 0 до 3, в каких границах может лежать начальное B₀? Сравните с ошибочным ответом B₀=162.
13. При M=80, q=2 зафиксировали C(2)=70. Может ли первое измерение C(1) равняться 20? Восстановите B₀ и объясните противоречие, если оно есть.

Разбор и ключ ответов

1. 1. B₀=24/(2)¹=12. На шаге 3: 12·(2)³=96; предел не превышен.
2. 2. B₀=24/(3/2)¹=16. На шаге 4: 16·(3/2)⁴=81; предел не превышен.
3. 3. B₀=48/(4/3)¹=36. На шаге 3: 36·(4/3)³=256/3; предел не превышен.
4. 4. B₀=125/2/(5/4)²=40. На шаге 4: 40·(5/4)⁴=3125/32; предел превышен, нужна остановка или насыщение.
5. 5. B₀=96/(2)²=24. На шаге 3: 24·(2)³=192; предел превышен, нужна остановка или насыщение.
6. 6. B₀=75/(3/2)¹=50. На шаге 3: 50·(3/2)³=675/4; предел превышен, нужна остановка или насыщение.
7. 7. B₀=80/(5/4)¹=64. На шаге 3: 64·(5/4)³=125; предел не превышен.
8. 8. B₀=432/5/(6/5)²=60. На шаге 4: 60·(6/5)⁴=15552/125; предел не превышен.
9. 9. B₀=72/(3/2)²=32. На шаге 3: 32·(3/2)³=108; предел превышен, нужна остановка или насыщение.
10. 10. B₀=144/(4/3)²=81. На шаге 4: 81·(4/3)⁴=256; предел превышен, нужна остановка или насыщение.

11. 11. min(96,8B₀)=96, значит 8B₀≥96 и B₀≥12; верхней границы только из этого показания нет.
12. 12. Для роста q>1 достаточно последнего шага: B₀·(3/2)³≤162, то есть 0<B₀≤48. Число 162 — максимум, не исходное значение.
13. 13. C(2)=70<80: B₀=70/4=17,5. Поэтому C(1)=35, а не 20. Два заявленных наблюдения несовместимы с постоянным q=2.

Особое внимание уделите двум видам данных. Когда в условии сказано, что реальное измерение меньше M, можно вернуться к началу с помощью деления на q в нужной степени. Когда измерение равно M, формула с минимумом скрывает истинный расчётный результат: восстановить из одного наблюдения ровно одну величину нельзя. В последнем случае правильный ответ представляет собой неравенство или интервал, а не одно число. Данные о нескольких предыдущих шагах способны сузить множество подходящих начальных значений.

Проверка разумности модели

Модель роста должна оговаривать интервал времени и единицы измерения. Выход за предел M не означает отрицательного результата или пропавших единиц: либо процесс прекращается, либо его формула меняется, либо действует явно определённое насыщение. Если учитель требует «найти B₀», сначала уточните, было ли заданное измерение получено до насыщения. Это защищает от незаметной подстановки фиктивного начального значения.