Сравнение коэффициентов роста при убывании в фиксированное число раз — тренажёр для 10 класса

Математика • 10 класс. Тренажёр по убыванию в фиксированное число раз: разбор пяти ложных рассуждений и вычислительная часть.

Сначала найдите пять разных ошибок

Для модели A(n)=A₀·qⁿ с убыванием на каждом одинаковом интервале выполняется 0<q<1. Фраза «уменьшается в r раз» при r>1 даёт q=1/r. Коэффициент меньше единицы не превращает величину в отрицательную: положительное начальное значение остаётся положительным.

Задания 1–5: объясните, почему рассуждение неверно, и выпишите правильную формулу. Одна короткая фраза без указания неверного шага не считается полной проверкой.

1. Неверное решение: Если показатель каждый шаг уменьшается в 4 раза, то коэффициент q равен 4. Исправьте его и приведите числовую проверку.
2. Неверное решение: «Уменьшается в 5 раз» означает «уменьшается на 5%». Исправьте его и приведите числовую проверку.
3. Неверное решение: При уменьшении 80 → 40 → 20 каждый раз вычитается 40. Исправьте его и приведите числовую проверку.
4. Неверное решение: Если q=1/3, то через три шага останется треть исходного. Исправьте его и приведите числовую проверку.
5. Неверное решение: У модели с q=0,8 уменьшение быстрее, чем при q=0,4. Исправьте его и приведите числовую проверку.

Закрепление: задания 6–15

Во всех десяти упражнениях используются одинаковые интервалы времени и одно неизменное правило. Не путайте число r, во сколько раз произошло уменьшение, и коэффициент q, на который умножается предыдущее значение. При сравнении скоростей считайте, что начальное значение у моделей одинаково.

6. Показатель начинается с 96 единиц и на каждом шаге делится на 2. Запишите коэффициент q, значение через три шага и долю исходного, которая останется. Сравните по скорости убывания с моделью q=1/2.
7. Показатель начинается с 243 единиц и на каждом шаге делится на 3. Запишите коэффициент q, значение через три шага и долю исходного, которая останется. Сравните по скорости убывания с моделью q=1/2.
8. Показатель начинается с 256 единиц и на каждом шаге делится на 4. Запишите коэффициент q, значение через три шага и долю исходного, которая останется. Сравните по скорости убывания с моделью q=1/2.
9. Показатель начинается с 500 единиц и на каждом шаге делится на 5. Запишите коэффициент q, значение через три шага и долю исходного, которая останется. Сравните по скорости убывания с моделью q=1/2.
10. Показатель начинается с 625 единиц и на каждом шаге делится на 5. Запишите коэффициент q, значение через три шага и долю исходного, которая останется. Сравните по скорости убывания с моделью q=1/2.
11. Показатель начинается с 729 единиц и на каждом шаге делится на 3. Запишите коэффициент q, значение через три шага и долю исходного, которая останется. Сравните по скорости убывания с моделью q=1/2.
12. Показатель начинается с 128 единиц и на каждом шаге делится на 2. Запишите коэффициент q, значение через три шага и долю исходного, которая останется. Сравните по скорости убывания с моделью q=1/2.
13. Показатель начинается с 1000 единиц и на каждом шаге делится на 10. Запишите коэффициент q, значение через три шага и долю исходного, которая останется. Сравните по скорости убывания с моделью q=1/2.
14. Показатель начинается с 81 единиц и на каждом шаге делится на 3. Запишите коэффициент q, значение через три шага и долю исходного, которая останется. Сравните по скорости убывания с моделью q=1/2.
15. Показатель начинается с 512 единиц и на каждом шаге делится на 4. Запишите коэффициент q, значение через три шага и долю исходного, которая останется. Сравните по скорости убывания с моделью q=1/2.

Ключ: исправление ошибочных решений

1. 1. Исправление: Неверно: новое значение есть четверть предыдущего; q=1/4, и число действительно убывает.
2. 2. Исправление: Неверно: уменьшается в 5 раз ⇒ q=1/5, то есть остаётся 20% исходного. Уменьшается на 5% ⇒ q=0,95.
3. 3. Исправление: Неверно: разности −40 и −20, но отношения одинаковы: 1/2. Это геометрическое, а не арифметическое изменение.
4. 4. Исправление: Неверно: три раза умножаем на 1/3, остаётся 1/27 исходного.
5. 5. Исправление: Неверно: при одинаковом старте меньшее положительное q даёт более сильное убывание за один и тот же шаг.

Самостоятельные задания 6–15

6. q=1/2; A(3)=96/2³=12; доля 1/8. По сравнению с q=1/2 убывание одинаково.
7. q=1/3; A(3)=243/3³=9; доля 1/27. По сравнению с q=1/2 убывание быстрее.
8. q=1/4; A(3)=256/4³=4; доля 1/64. По сравнению с q=1/2 убывание быстрее.
9. q=1/5; A(3)=500/5³=4; доля 1/125. По сравнению с q=1/2 убывание быстрее.
10. q=1/5; A(3)=625/5³=5; доля 1/125. По сравнению с q=1/2 убывание быстрее.
11. q=1/3; A(3)=729/3³=27; доля 1/27. По сравнению с q=1/2 убывание быстрее.
12. q=1/2; A(3)=128/2³=16; доля 1/8. По сравнению с q=1/2 убывание одинаково.
13. q=1/10; A(3)=1000/10³=1; доля 1/1000. По сравнению с q=1/2 убывание быстрее.
14. q=1/3; A(3)=81/3³=3; доля 1/27. По сравнению с q=1/2 убывание быстрее.
15. q=1/4; A(3)=512/4³=8; доля 1/64. По сравнению с q=1/2 убывание быстрее.

Обратная проверка

В любом ответе найдите A(2) и A(3) и убедитесь, что отношение A(3)/A(2) равно вашему q. Если получилось число больше единицы при описанном убывании, коэффициент перепутан с обратным. Нельзя делать вывод о скорости только из абсолютных разностей, поскольку при постоянном q их величина меняется.

Учителю: ошибки 1–5 проверяют пять разных механизмов — обратный коэффициент, проценты, аддитивность, количество шагов и направление сравнения. Задания 6–15 проверяют вычислительную устойчивость. Наличие дробного ответа допустимо: в условных единицах это модельное значение, которое нельзя произвольно округлять без требования задачи.