Сравнение коэффициентов роста для сравнения линейного и экспоненциального процесса — мини-практикум с ответами, 10 класс

Математика • 10 класс. Два контрастных варианта, 16 заданий, таблицы наблюдений и полный разбор.

Как различать постоянную прибавку и постоянный множитель

Линейная модель имеет вид L(n)=a+dn: на каждом равном интервале прибавляется одно и то же число d. Экспоненциальная модель E(n)=b·qⁿ умножает текущее значение на постоянное q. У линейной модели отношения соседних значений, как правило, меняются, даже если её абсолютная прибавка всегда одинакова. У экспоненты постоянен коэффициент, зато абсолютная прибавка со временем растёт при q>1.

Вариант А — модели встречаются рано

Исследуйте две модели условного выпуска: L(n)=18+6n и E(n)=16·(3/2)ⁿ. Здесь n — число завершённых одинаковых периодов, начиная с нуля. Внимание: совпадение конкретных показаний ещё не означает равенства математических законов.

1. Найдите L(0) и E(0) и укажите, что больше в начальный момент.
2. Рассчитайте L(1), E(1). Чем примечателен результат?
3. Найдите L(2), E(2). Какая модель уже обогнала другую?
4. Вычислите L(3), E(3). Сравните абсолютные прибавки за интервал 2→3.
5. Рассчитайте коэффициенты L(1)/L(0) и E(1)/E(0). Совпадают ли они?
6. Найдите L(2)/L(1) и E(2)/E(1). Какой коэффициент изменился?
7. Сравните L(4) и E(4). Каков результат увеличения времени прогноза?
8. Правильно ли утверждать, что равенство в момент n=1 делает модели одинаковыми для всех моментов? Обоснуйте двумя значениями.

Вариант Б — модели встречаются позже

Для нового опыта заданы U(n)=10+10n и V(n)=5·2ⁿ. В первом процессе добавляют по 10 единиц, во втором удваивают имеющееся количество. Рассчитайте и сравните обе модели в несколько моментов, затем объясните, почему относительный темп линейного процесса со временем падает.

1. Вычислите U(0) и V(0); какой показатель больше?
2. Получите U(1) и V(1). Сохранилось ли преимущество линейного процесса?
3. Сравните U(2) и V(2), не заменяя умножение на 2 прибавлением 2.
4. Найдите U(3), V(3). Почему этот шаг нельзя считать доказательством равных коэффициентов?
5. Вычислите U(4) и V(4); на сколько отличается больший показатель?
6. Найдите U(1)/U(0) и V(1)/V(0). Какой ложный вывод можно сделать только по этому шагу?
7. Найдите коэффициенты на интервале 1→2 и объясните, почему они уже не одинаковы.
8. Запишите формулу коэффициента U(n+1)/U(n) и объясните, к чему она стремится при больших n. Сравните с V.

Взаимная проверка и разбор

Ответы к варианту А (1–8)

1. 1. L(0)=18, E(0)=16: в начале линейная модель выше на 2.
2. 2. L(1)=24, E(1)=24: на первом шаге значения совпали.
3. 3. L(2)=30, E(2)=36: экспоненциальная модель больше на 6.
4. 4. L(3)=36, E(3)=54; прибавка L с 2 на 3 равна 6, прибавка E — 18.
5. 5. Для L: 24/18=4/3; для E: 24/16=3/2. Коэффициенты различны.
6. 6. Для L: 30/24=5/4; для E: 36/24=3/2. У линейной модели отношение изменилось, у экспоненты нет.
7. 7. L(4)=42; E(4)=16·(3/2)⁴=81. Экспонента выше на 39.
8. 8. Нет. При n=1 обе модели дают 24, но при n=2 получаем 30 и 36: их правила изменения разные.

Ответы к варианту Б (9–16)

9. U(0)=10, V(0)=5; линейный показатель больше вдвое.
10. U(1)=20, V(1)=10; да, линейный остаётся вдвое больше.
11. U(2)=30, V(2)=20; линейный больше на 10.
12. U(3)=40, V(3)=40; значения равны в этот момент, но отношения на следующих шагах различаются.
13. U(4)=50, V(4)=80; экспонента больше на 30.
14. 20/10=2 и 10/5=2; совпадение на одном шаге не гарантирует одинакового закона на следующем.
15. U(2)/U(1)=30/20=3/2; V(2)/V(1)=20/10=2. У линейной модели относительный рост замедляется.
16. U(n+1)/U(n)=(10+10(n+1))/(10+10n)=(n+2)/(n+1), стремится к 1 при больших n; у V всегда 2.

Неочевидный вывод

Сравнение коэффициентов роста требует одинакового шага и строго положительных величин, чтобы отношение было осмысленным. Для линейного процесса коэффициент на каждом следующем шаге зависит от n; его нельзя объявить постоянным только из первого отношения. Для экспоненциального процесса частное соседних значений равно q всегда, пока действует принятая модель. Поэтому сравнивайте не только разовые значения, но и то, что остаётся постоянным: разность или отношение.