Сравнение локального и глобального оптимума на замкнутом промежутке — упражнения разной сложности, 11 класс

Математика · 11 класс. Исследовательский практикум: наблюдение, 14 упражнений и проверка граничных значений.

Задача-наблюдение: внутренний минимум не обязан быть единственным глобальным выводом

Исследуйте f(x)=x²−4x+3 на замкнутом отрезке [0;5]. Производная 2x−4 обращается в ноль при x=2; это локальный минимум с f(2)=−1. Но для поиска наибольшего значения на отрезке недостаточно взять стационарную точку: необходимо проверить обе границы. Здесь f(0)=3, f(5)=8. Значит абсолютный минимум −1 достигается внутри, а абсолютный максимум 8 — в правом конце. Ни один из этих выводов не требует строить график с высокой точностью.

Рабочее правило: для непрерывной функции на отрезке [a;b] вычисляют значения во всех внутренних критических точках, где производная равна нулю либо не существует, и на обоих концах отрезка. Затем сравнивают значения. По теореме Вейерштрасса на таком отрезке абсолютные максимум и минимум существуют. В этом рабочем листе «локальный экстремум» в основном означает внутреннюю точку; граничные точки проверяются отдельно. Это соглашение избегает путаницы с односторонним определением локального экстремума на отрезке.

Часть А — сформулируйте собственное правило по параболам

Сначала предскажите, где лежит вершина каждой параболы, и только потом вычисляйте граничные значения. Обсудите: можно ли по одному знаку старшего коэффициента определить точку максимума на отрезке, не зная расположения границ? Почему у вогнутой вниз параболы локальный максимум внутри, а абсолютный минимум часто находится на одном из концов?

1. Функция f(x)=1·(x−(2))²+(0) на [0;5]. Найдите внутренний локальный экстремум; затем найдите глобальные минимум и максимум с точками достижения. Сравните их.
2. Функция f(x)=-1·(x−(1))²+(4) на [-2;3]. Найдите внутренний локальный экстремум; затем найдите глобальные минимум и максимум с точками достижения. Сравните их.
3. Функция f(x)=1·(x−(-1))²+(2) на [-4;2]. Найдите внутренний локальный экстремум; затем найдите глобальные минимум и максимум с точками достижения. Сравните их.
4. Функция f(x)=-1·(x−(0))²+(3) на [-2;5]. Найдите внутренний локальный экстремум; затем найдите глобальные минимум и максимум с точками достижения. Сравните их.
5. Функция f(x)=1·(x−(3))²+(-2) на [1;6]. Найдите внутренний локальный экстремум; затем найдите глобальные минимум и максимум с точками достижения. Сравните их.
6. Функция f(x)=-1·(x−(-2))²+(1) на [-4;0]. Найдите внутренний локальный экстремум; затем найдите глобальные минимум и максимум с точками достижения. Сравните их.
7. Функция f(x)=1·(x−(0))²+(0) на [-3;1]. Найдите внутренний локальный экстремум; затем найдите глобальные минимум и максимум с точками достижения. Сравните их.
8. Функция f(x)=-1·(x−(2))²+(-1) на [-1;4]. Найдите внутренний локальный экстремум; затем найдите глобальные минимум и максимум с точками достижения. Сравните их.

Часть Б — локальные критические точки кубической функции

Вторая серия специально содержит случаи, когда одно абсолютное значение достигается и внутри отрезка, и на границе. В таких задачах не допускается ответ из единственной точки без проверки равенств. Для каждого случая сделайте таблицу из четырёх значений и обведите все равные максимумы и минимумы.

9. Исследуйте f(x)=x³−3x на [-2;2]. Отметьте обе внутренние стационарные точки и решите, совпадает ли какой-либо локальный экстремум с абсолютным. Укажите все точки достижения максимума и минимума.
10. Исследуйте f(x)=x³−3x на [-3;2]. Отметьте обе внутренние стационарные точки и решите, совпадает ли какой-либо локальный экстремум с абсолютным. Укажите все точки достижения максимума и минимума.
11. Исследуйте f(x)=x³−3x на [-2;3]. Отметьте обе внутренние стационарные точки и решите, совпадает ли какой-либо локальный экстремум с абсолютным. Укажите все точки достижения максимума и минимума.
12. Исследуйте f(x)=−x³+3x на [-2;2]. Отметьте обе внутренние стационарные точки и решите, совпадает ли какой-либо локальный экстремум с абсолютным. Укажите все точки достижения максимума и минимума.
13. Исследуйте f(x)=−x³+3x на [-3;2]. Отметьте обе внутренние стационарные точки и решите, совпадает ли какой-либо локальный экстремум с абсолютным. Укажите все точки достижения максимума и минимума.
14. Исследуйте f(x)=−x³+3x на [-2;3]. Отметьте обе внутренние стационарные точки и решите, совпадает ли какой-либо локальный экстремум с абсолютным. Укажите все точки достижения максимума и минимума.

Ключ с аргументацией

Параболы: задания 1–8

1. f(0)=4, f(2)=0, f(5)=9. Внутренний локальный минимум при x=2. Абсолютный минимум 0 при x=2; абсолютный максимум 9 при x=5.
2. f(-2)=-5, f(1)=4, f(3)=0. Внутренний локальный максимум при x=1. Абсолютный минимум -5 при x=-2; абсолютный максимум 4 при x=1.
3. f(-4)=11, f(-1)=2, f(2)=11. Внутренний локальный минимум при x=-1. Абсолютный минимум 2 при x=-1; абсолютный максимум 11 при x=-4, 2.
4. f(-2)=-1, f(0)=3, f(5)=-22. Внутренний локальный максимум при x=0. Абсолютный минимум -22 при x=5; абсолютный максимум 3 при x=0.
5. f(1)=2, f(3)=-2, f(6)=7. Внутренний локальный минимум при x=3. Абсолютный минимум -2 при x=3; абсолютный максимум 7 при x=6.
6. f(-4)=-3, f(-2)=1, f(0)=-3. Внутренний локальный максимум при x=-2. Абсолютный минимум -3 при x=-4, 0; абсолютный максимум 1 при x=-2.
7. f(-3)=9, f(0)=0, f(1)=1. Внутренний локальный минимум при x=0. Абсолютный минимум 0 при x=0; абсолютный максимум 9 при x=-3.
8. f(-1)=-10, f(2)=-1, f(4)=-5. Внутренний локальный максимум при x=2. Абсолютный минимум -10 при x=-1; абсолютный максимум -1 при x=2.

Кубические функции: задания 9–14

9. f′(x)=1·(3x²−3), внутренние критические x=−1 и x=1. Сравнение f(-2)=-2, f(−1)=2, f(1)=-2, f(2)=2 даёт min=-2 при x=-2, 1; max=2 при x=-1, 2.
10. f′(x)=1·(3x²−3), внутренние критические x=−1 и x=1. Сравнение f(-3)=-18, f(−1)=2, f(1)=-2, f(2)=2 даёт min=-18 при x=-3; max=2 при x=-1, 2.
11. f′(x)=1·(3x²−3), внутренние критические x=−1 и x=1. Сравнение f(-2)=-2, f(−1)=2, f(1)=-2, f(3)=18 даёт min=-2 при x=-2, 1; max=18 при x=3.
12. f′(x)=-1·(3x²−3), внутренние критические x=−1 и x=1. Сравнение f(-2)=2, f(−1)=-2, f(1)=2, f(2)=-2 даёт min=-2 при x=-1, 2; max=2 при x=-2, 1.
13. f′(x)=-1·(3x²−3), внутренние критические x=−1 и x=1. Сравнение f(-3)=18, f(−1)=-2, f(1)=2, f(2)=-2 даёт min=-2 при x=-1, 2; max=18 при x=-3.
14. f′(x)=-1·(3x²−3), внутренние критические x=−1 и x=1. Сравнение f(-2)=2, f(−1)=-2, f(1)=2, f(3)=-18 даёт min=-18 при x=3; max=2 при x=-2, 1.

Контрпример и важные оговорки

Если заменить замкнутый отрезок на открытый (0;1), непрерывная функция f(x)=x может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значения: она только стремится к 0 и 1. Отсюда видно, почему условие замкнутости существенно. Другое ограничение — разрыв внутри промежутка: нельзя без доказательства применять теорему о максимуме и минимуме к функции, не непрерывной на полном отрезке.

Не смешивайте глобальный экстремум на всей числовой прямой и на конкретном промежутке. Например, x² на [2;3] минимально в левой границе, хотя его стационарная точка x=0 за пределами данного промежутка. Во всех упражнениях этого листа область поиска указана явно. При проверке учитель оценивает не только вычисленный максимум, но и объяснение, почему сравнивались границы и внутренние критические точки.