Нахождение ошибок измерения для тела с полостью внутри — тематические карточки для 11 класса

Математика, 11 класс. Цель: вычислять объём материала полого тела и оценивать последствия неточных измерений.

Памятка: почему ошибка полости особенно заметна

У полого тела материал занимает только пространство между внешней поверхностью и полостью. Для цилиндрической втулки объём материала V = πh(R² − r²), где R — внешний радиус, r — радиус отверстия, h — высота и 0 ≤ r < R. Измеренные величины должны быть в одних единицах. Ошибка при вычислении объёма — это разность двух объёмов, а не сумма показаний штангенциркуля.

Если указывают R = R₀ ± δR и r = r₀ ± δr, то наибольший возможный объём получается при большем R и меньшем r. Наименьший — наоборот. При погрешности высоты её верхнюю и нижнюю границы также учитывают. Нельзя без оговорки считать приближённую формулу dV ≈ πh(2R·dR − 2r·dr) точной: квадраты при больших погрешностях существенны.

Здесь во всех задачах используйте точные значения с π, если не сказано иное. Абсолютная погрешность: |Vвычисл − Vистинн|; относительная — эта величина, делённая на истинный объём. Не путайте радиус и диаметр и не округляйте промежуточные величины.

Вариант А — цилиндрическая втулка

Решите задания 1–9, покажите, какие измерения относятся к внешнему телу, а какие — к пустоте. В задачах 5–6 достаточно проверять монотонность объёма по радиусу: при положительных размерах рост R увеличивает количество материала.

1. Внешний радиус 5 см, внутренний 3 см, высота 8 см. Найдите объём материала.
2. У втулки R = 7 см, r = 2 см, h = 4 см. Найдите объём полости.
3. Наружный диаметр 12 см, диаметр отверстия 4 см, h = 5 см. Найдите объём материала.
4. В записи V = πh(R − r)² при R = 6, r = 2, h = 3 найдите ошибку и правильный объём.
5. При R = 5 ± 0,1 см, r = 2 см и h = 10 см найдите максимально возможный объём.
6. При R = 5 ± 0,1 см, r = 2 см и h = 10 см найдите минимально возможный объём.
7. Вычислен объём 84π см³, истинный равен 80π см³. Найдите абсолютную и относительную ошибки.
8. Наружный радиус измерен как 8 см, а истинный 7,8 см; r = 3 см и h = 2 см точны. Найдите ошибку объёма.
9. Почему оценка 2πhR·δR при R = 5, h = 10, δR = 0,1 не даёт точную максимальную ошибку?

Вариант Б — сквозная полость и границы измерений

В отличие от первой карточки здесь часть заданий относится к прямоугольному телу. Сначала обязательно определите, проходит ли полость через всю высоту: если да, её объём вычисляется по той же длине, что и внешний объём.

1. У прямоугольного блока 8 × 6 × 5 см сквозная прямоугольная полость 2 × 3 × 5 см. Вычислите объём материала.
2. Внешний объём 420 см³, объём полости 84 см³. Какую долю внешнего объёма занимает материал?
3. Стена детали имеет внешнее сечение 9 × 7 см и отверстие 3 × 2 см, длина 4 см. Найдите объём материала.
4. Вычисляя объём блока с полостью, ученик получил 288 см³; он не вычел полость 48 см³. Найдите правильный результат и абсолютную ошибку.
5. Наружный прямоугольный параллелепипед: 10 × 8 × 6 см; отверстие: 4 × 2 × 6 см. Первый размер отверстия на самом деле 4,2 см. Найдите ошибку вычисления объёма материала.
6. Для полого цилиндра R = 6 ± 0,1 см, r = 3 ± 0,1 см, h = 2 см точно. Какова наибольшая возможная величина объёма?
7. Для данных предыдущего задания найдите минимально возможный объём.
8. Из предыдущих границ найдите интервал абсолютной ошибки относительно расчёта по номинальным размерам.
9. Сформулируйте два условия, при которых интервал размеров нельзя подставить в формулу объёма полой детали.

Подробный ключ для учителя

Вариант А — ответы и объяснения

1. π·8·(25 − 9) = 128π см³.
2. π·2²·4 = 16π см³; объём внешнего цилиндра здесь не нужен.
3. R = 6, r = 2; π·5·(36 − 4) = 160π см³.
4. Нельзя вычитать радиусы до возведения в квадрат: V = π·3·(36 − 4) = 96π см³, а не 48π.
5. Максимум при R = 5,1: Vmax = 10π(5,1² − 4) = 220,1π см³.
6. Минимум при R = 4,9: Vmin = 10π(4,9² − 4) = 200,1π см³.
7. |84π − 80π| = 4π см³; 4π/(80π) = 5%.
8. 2π(8² − 7,8²) = 2π(64 − 60,84) = 6,32π см³.
9. Это линейное приближение 10π см³; точная прибавка π·10·(2·5·0,1 + 0,1²) = 10,1π см³.

Вариант Б — ответы и объяснения

1. 8·6·5 − 2·3·5 = 210 см³.
2. (420 − 84)/420 = 80%.
3. (9·7 − 3·2)·4 = 228 см³.
4. 288 − 48 = 240 см³; абсолютная ошибка 48 см³.
5. Разница объёмов отверстия: (4,2 − 4)·2·6 = 2,4 см³. Вычисленный объём материала завышен.
6. При R = 6,1 и r = 2,9: Vmax = 2π(37,21 − 8,41) = 57,6π см³.
7. При R = 5,9 и r = 3,1: Vmin = 2π(34,81 − 9,61) = 50,4π см³.
8. Номинал 2π(36 − 9) = 54π. Возможные отклонения: 57,6π − 54π = 3,6π и 54π − 50,4π = 3,6π. Следовательно, |ошибка| ≤ 3,6π см³.
9. Нужны положительная высота и 0 ≤ r < R во всём рассматриваемом интервале. Если r может стать не меньше R, модель геометрически некорректна.

Проверка письменной работы: полный ответ указывает единицу кубического объёма, различает знак ошибки и модуль абсолютной ошибки, а при работе с интервалами рассматривает крайние допустимые измерения. Для задания о погрешности радиуса важно показать точный квадрат суммы, а не только линейную оценку.