Восстановление образующей для составного тела из нескольких частей — математический практикум для 11 класса

Математика, 11 класс. Цель: по площади наружной поверхности составного тела восстановить образующую конуса и проверить геометрическую допустимость.

Метод: вычесть известные наружные части

Рассматриваем составное тело: прямой круговой цилиндр высоты h и радиуса r, на котором стоит прямой круговой конус того же радиуса. Их общее круглое основание скрыто внутри тела, поэтому в боковую площадь его включать нельзя. Наружная боковая площадь S = 2πrh + πrl, где l — образующая конуса. Следовательно, l = (S/π − 2rh)/r.

Геометрическая проверка обязательна: l ≥ r, поскольку высота конуса k удовлетворяет l² = r² + k². Если k > 0, то l > r. Для вычисления высоты конуса используют k = √(l² − r²), а не k = l − r. Во всех задачах с двумя конусами S = πr(l₁ + l₂): их общее круглое основание не видно снаружи.

Уровень I — восстановить одну образующую

Первые восемь заданий посвящены именно выделению известной части площади. Для каждого решения запишите полную формулу площади, а не только итоговое число.

1. Цилиндр радиуса 3 см, высоты 4 см и конус сверху имеют общую наружную боковую площадь 39π см². Найдите образующую конуса.
2. Цилиндр радиуса 4 см, высоты 2 см и конус сверху имеют общую наружную боковую площадь 36π см². Найдите образующую конуса.
3. Цилиндр радиуса 5 см, высоты 7 см и конус сверху имеют общую наружную боковую площадь 135π см². Найдите образующую конуса.
4. Цилиндр радиуса 6 см, высоты 3 см и конус сверху имеют общую наружную боковую площадь 96π см². Найдите образующую конуса.
5. Цилиндр радиуса 8 см, высоты 5 см и конус сверху имеют общую наружную боковую площадь 216π см². Найдите образующую конуса.
6. Цилиндр радиуса 7 см, высоты 4 см и конус сверху имеют общую наружную боковую площадь 231π см². Найдите образующую конуса.
7. Цилиндр радиуса 9 см, высоты 2 см и конус сверху имеют общую наружную боковую площадь 171π см². Найдите образующую конуса.
8. Цилиндр радиуса 12 см, высоты 6 см и конус сверху имеют общую наружную боковую площадь 300π см². Найдите образующую конуса.

Уровень II — задача в обратную сторону

При восстановлении высоты цилиндра сначала вычтите боковую площадь конуса. Если полученная площадь отрицательна, исходные данные противоречат модели; положительная высота цилиндра невозможна.

1. Общая боковая площадь цилиндра и конуса равна 63π см²; r = 3 см, образующая конуса l = 5 см. Найдите высоту цилиндра.
2. Общая боковая площадь цилиндра и конуса равна 105π см²; r = 5 см, образующая конуса l = 13 см. Найдите высоту цилиндра.
3. Общая боковая площадь цилиндра и конуса равна 92π см²; r = 4 см, образующая конуса l = 5 см. Найдите высоту цилиндра.
4. Общая боковая площадь цилиндра и конуса равна 120π см²; r = 6 см, образующая конуса l = 10 см. Найдите высоту цилиндра.
5. Общая боковая площадь цилиндра и конуса равна 184π см²; r = 8 см, образующая конуса l = 17 см. Найдите высоту цилиндра.
6. Общая боковая площадь цилиндра и конуса равна 203π см²; r = 7 см, образующая конуса l = 25 см. Найдите высоту цилиндра.

Уровень III — несколько конусов и проверки осуществимости

Продвинутые задачи требуют проверки геометрических ограничений и точного понимания того, какие поверхности скрыты соединением. Для двух конусов допустимая положительная высота требует, чтобы каждая образующая была строго больше r.

1. Два конуса радиуса 3 см склеены основаниями. Первая образующая 5 см, наружная площадь 42π см². Найдите вторую образующую.
2. Два конуса радиуса 4 см: l₁ = 5 см, l₂ = 6 см. Найдите площадь их наружной боковой поверхности.
3. У составного тела r = 6 см, h = 2 см, S = 60π см². Возможна ли положительная высота конуса?
4. У составного тела r = 5 см, h = 4 см, S = 50π см². Почему результат невозможен?
5. В задаче уровня I для r = 3, h = 4, l = 5 найдите высоту конуса.
6. В задаче уровня I для r = 5, h = 7, l = 13 найдите высоту конуса.
7. Два конуса радиуса 5 см имеют наружную площадь 90π см². Одна образующая 13 см. Найдите другую и проверьте возможность.
8. Составной объект: r = 4 см, h = 3 см и образующая конуса 5 см. Ученик добавил площадь общего основания πr². Найдите истинную наружную боковую площадь и величину завышения.
9. Для тела r = 8 см, h = 5 см, общая наружная площадь 216π см². Найдите l и k.
10. Составное тело r = 3 см, h = 2 см, l = 5 см. Восстановите площадь и разделите её на цилиндрическую и коническую части.

Разобранные решения и ключ

Уровень I

1. S = πr(2h + l), значит l = 39/3 − 2·4 = 5 см; l ≥ r выполнено.
2. S = πr(2h + l), значит l = 36/4 − 2·2 = 5 см; l ≥ r выполнено.
3. S = πr(2h + l), значит l = 135/5 − 2·7 = 13 см; l ≥ r выполнено.
4. S = πr(2h + l), значит l = 96/6 − 2·3 = 10 см; l ≥ r выполнено.
5. S = πr(2h + l), значит l = 216/8 − 2·5 = 17 см; l ≥ r выполнено.
6. S = πr(2h + l), значит l = 231/7 − 2·4 = 25 см; l ≥ r выполнено.
7. S = πr(2h + l), значит l = 171/9 − 2·2 = 15 см; l ≥ r выполнено.
8. S = πr(2h + l), значит l = 300/12 − 2·6 = 13 см; l ≥ r выполнено.

Уровень II

1. 2rh = 63 − 3·5 = 48; h = 48/(2·3) = 8 см.
2. 2rh = 105 − 5·13 = 40; h = 40/(2·5) = 4 см.
3. 2rh = 92 − 4·5 = 72; h = 72/(2·4) = 9 см.
4. 2rh = 120 − 6·10 = 60; h = 60/(2·6) = 5 см.
5. 2rh = 184 − 8·17 = 48; h = 48/(2·8) = 3 см.
6. 2rh = 203 − 7·25 = 28; h = 28/(2·7) = 2 см.

Уровень III

1. 42/3 − 5 = 9 см. Общий круг не входит в боковую площадь.
2. 4π(5 + 6) = 44π см².
3. l = 60/6 − 4 = 6 см, тогда k = 0. Нет положительной высоты конуса.
4. l = 50/5 − 8 = 2 см, но l < r = 5 см. Геометрически невозможен.
5. k = √(25 − 9) = 4 см.
6. k = √(169 − 25) = 12 см.
7. l₂ = 90/5 − 13 = 5 см; возможен вырожденный конус с высотой 0, но не конус с положительной высотой.
8. Правильно S = 2π·4·3 + π·4·5 = 44π см²; добавленный круг даёт завышение на 16π см².
9. l = 216/8 − 10 = 17 см; k = √(289 − 64) = 15 см.
10. Цилиндр 2π·3·2 = 12π см²; конус π·3·5 = 15π см²; всего 27π см².

Контрольный вывод: при составлении наружной площади не учитывают внутренние основания соединяемых частей. Если восстановленная образующая конуса меньше радиуса, нельзя «исправлять» отрицательное выражение под корнем модулем: это сигнал о противоречивых исходных данных, а не о новом геометрическом ответе.

Почему обратная подстановка важнее быстрого ответа

Если в составе фигуры есть цилиндр и конус, исходную боковую площадь удобно записать как сумму двух отдельных слагаемых. Например, для радиуса 3 см, высоты цилиндра 4 см и образующей конуса 5 см первое слагаемое равно 24π см², второе — 15π см². Совпадение их суммы 39π см² с исходной площадью подтверждает вычисления. Но эта проверка не заменяет проверки формы конуса: даже формально подходящее положительное значение образующей при l < r геометрически невозможно.

При соединении двух конусов по общему основанию мы снова складываем боковые площади, но не добавляем площади соединительных кругов. Однако если фигуру ставят на поверхность и просят полную площадь видимых частей, понадобится отдельно уточнить, закрыто ли внешнее основание. Таким образом, решающий этап задачи — не выбор формулы по привычке, а составление списка открытых поверхностей.

Для конуса наклонная образующая длиннее вертикальной высоты: l² = k² + r². Когда известна одна из этих длин, восстановление другой является дополнительным действием и не должно подменять поиск образующей по площади. Например, если найдены r = 8 см и l = 17 см, высота 15 см не равна образующей 17 см. Смешение этих размеров ведёт к систематической ошибке даже при правильном значении π.

Для самопроверки полезно провести оценку до вычислений: при положительных размерах площадь составного тела превосходит боковую площадь одного цилиндра. Если из общей площади после вычитания цилиндрической части осталось неположительное число, образующую положительного конуса восстановить невозможно. Подобная предварительная оценка позволяет быстро обнаружить опечатку в исходном условии или в единицах измерения.