Задания по математике для 6 класса: модуль суммы и сумма модулей: сравнение

Практическая карточка для шестиклассников: мы сравниваем не сами числа, а два способа обращения с модулем. Левое выражение сначала складывает числа, а затем определяет расстояние результата от нуля. Правое выражение сначала берёт расстояние для каждого слагаемого и складывает эти расстояния. Порядок действий принципиально меняет результат, особенно когда слагаемые имеют противоположные знаки.

Схема на числовой прямой

Пример. От точки 0 сделайте 8 шагов влево (−8), затем 3 вправо (+3). Итоговая точка −5 находится в пяти шагах от нуля: |−8 + 3| = 5. Но суммарная длина двух перемещений равна 8 + 3 = 11. Поэтому 5 < 11. Если оба перемещения направлены в одну сторону, пройденный путь и расстояние до конца совпадают.

Модуль отрицательного числа положителен: |−7| = 7, модуль нуля — 0. Следите за скобками: |−4 + 6| = |2| = 2, тогда как |−4| + |6| = 10. Ошибка «сразу убрать минусы внутри суммы» превращает левую часть в правую, что разрешено не всегда.

Мини-тест: 12 вычислительных сравнений

В заданиях 1–12 сначала найдите значение слева, затем справа. После этого поставьте знак и напишите в тетради одно короткое объяснение: «одинаковые знаки», «противоположные знаки» или «есть ноль». Каждый пункт — самостоятельная проверка, без калькулятора.

1. 1. Для a = −8, b = 3 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
2. 2. Для a = −4, b = −6 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
3. 3. Для a = 7, b = 9 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
4. 4. Для a = 0, b = −11 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
5. 5. Для a = −15, b = 15 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
6. 6. Для a = 12, b = −5 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
7. 7. Для a = −1, b = −13 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
8. 8. Для a = 21, b = −7 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
9. 9. Для a = −9, b = 0 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
10. 10. Для a = 6, b = −6 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
11. 11. Для a = 18, b = 4 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.
12. 12. Для a = −30, b = 11 сравните |a + b| и |a| + |b|, впишите знак <, = или > и объясните выбор.

Серия для закрепления: объясняем закономерность

Задания 13–16 нельзя решить одной механической подстановкой. В них надо использовать направление перемещения по числовой прямой, подобрать контрпример либо сформулировать правило. Это помогает отличить понимание модуля от простого вычисления.

1. 13. Можно ли получить |a + b| > |a| + |b| при каких-либо целых a и b? Приведите довод.
2. 14. При a = −17 подберите ненулевое b, чтобы выполнялось равенство |a + b| = |a| + |b|.
3. 15. При a = 9 подберите ненулевое b, чтобы было строгое неравенство |a + b| < |a| + |b|.
4. 16. Одновременно ли верны утверждения: «для a = −5, b = 5 обе величины равны нулю» и «при a = 0 обе величины совпадают»? Объясните.

Ответы и проверка — для учителя и родителя

Этот раздел находится после всех заданий. Для самостоятельной работы распечатайте ученику страницы до линии раздела с ключами либо закройте ответы отдельным листом.

1. 1. |−8 + (3)| = 5, |−8| + |3| = 11. Знак <: слагаемые разных знаков частично компенсируют друг друга.
2. 2. |−4 + (−6)| = 10, |−4| + |−6| = 10. Знак =: слагаемые одного знака или одно из них равно нулю, поэтому расстояния складываются.
3. 3. |7 + (9)| = 16, |7| + |9| = 16. Знак =: слагаемые одного знака или одно из них равно нулю, поэтому расстояния складываются.
4. 4. |0 + (−11)| = 11, |0| + |−11| = 11. Знак =: слагаемые одного знака или одно из них равно нулю, поэтому расстояния складываются.
5. 5. |−15 + (15)| = 0, |−15| + |15| = 30. Знак <: слагаемые разных знаков частично компенсируют друг друга.
6. 6. |12 + (−5)| = 7, |12| + |−5| = 17. Знак <: слагаемые разных знаков частично компенсируют друг друга.
7. 7. |−1 + (−13)| = 14, |−1| + |−13| = 14. Знак =: слагаемые одного знака или одно из них равно нулю, поэтому расстояния складываются.
8. 8. |21 + (−7)| = 14, |21| + |−7| = 28. Знак <: слагаемые разных знаков частично компенсируют друг друга.
9. 9. |−9 + (0)| = 9, |−9| + |0| = 9. Знак =: слагаемые одного знака или одно из них равно нулю, поэтому расстояния складываются.
10. 10. |6 + (−6)| = 0, |6| + |−6| = 12. Знак <: слагаемые разных знаков частично компенсируют друг друга.
11. 11. |18 + (4)| = 22, |18| + |4| = 22. Знак =: слагаемые одного знака или одно из них равно нулю, поэтому расстояния складываются.
12. 12. |−30 + (11)| = 19, |−30| + |11| = 41. Знак <: слагаемые разных знаков частично компенсируют друг друга.

Ответы к вопросам на объяснение

1. 13. Нет. Сумма расстояний от нуля не может быть меньше модуля результата сложения: |a + b| ≤ |a| + |b|. Проверить можно на числовой прямой или разобрать знаки.
2. 14. Например, b = −3: |−17 + (−3)| = 20 и |−17| + |−3| = 20. Подойдёт любое отрицательное ненулевое b.
3. 15. Например, b = −4: |9 + (−4)| = 5, а 9 + 4 = 13. Для строгого неравенства подходят ненулевые слагаемые разных знаков.
4. 16. Первое неверно: |−5 + 5| = 0, но |−5| + |5| = 10. Второе верно: при a = 0 обе величины равны |b|.

Быстрая самопроверка. Если хотя бы один ответ содержит знак «>», пересчитайте: для любых чисел a и b верно |a + b| ≤ |a| + |b|. Равенство получается, если оба ненулевых слагаемых имеют одинаковый знак, а также при нуле. При разных ненулевых знаках неравенство строгое.

Как использовать. Входная проверка — задания 1–4; основной тест — 5–12; устное объяснение — 13–16. Учителю удобно оценить отдельно вычисление двух модулей и обоснование выбранного знака: правильный знак, полученный случайно, не заменяет объяснения.