Разбор типичных ошибок: поиск неверного знака в цепочке вычислений — 6 класс

На контрольной по отрицательным числам ученик может верно складывать столбиком, но терять знак уже на первой строке. В этом практикуме все вычислительные цепочки устроены специально: арифметика последней строки правильная для ошибочного промежуточного выражения, но в переходе из исходной записи изменён один знак. Задача шестиклассника — не просто получить число, а найти первый неверный переход.

Разбор одного частного случая

Посмотрите: 12 − (−5) + 2 → 12 − 5 + 2 → 9. Последняя строка действительно равна 9 для выражения посередине, но исходное число другое. При вычитании отрицательного получаем 12 + 5 + 2 = 19. Ошибся не тот, кто выполнил сложение 12 − 5 + 2, а тот, кто раскрыл скобки.

Запомните три полезных перехода: a − (−b) = a + b, a + (−b) = a − b, a − (+b) = a − b при положительном b. Если первым стоит отрицательное число, оно сохраняет знак: −10 − (−3) = −10 + 3 = −7. Приучитесь обводить знак действия перед скобкой отдельно от знака самого числа внутри.

Как исправлять цепочку

• Прочитайте исходное выражение и отметьте все отрицательные числа в скобках.
• Перепишите его без скобок, меняя знаки по правилам, но пока не считайте.
• Сравните полученную строку с той, которую написал «ученик». Выделите один несовпадающий знак.
• Вычислите итог и вернитесь к условию для проверки: первоначальное выражение и ваша строка должны быть равны.

Рабочая серия: от одного минуса до нескольких

Для каждого номера запишите: (1) номер места, где нарушено правило, (2) исправленную строку без скобок, (3) правильное число. В напечатанной цепочке всегда предполагается только одна ошибка знака.

1. 1. Ошибочная цепочка: 9 − (−4) + 2 → 9 − 4 + 2 → 7. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
2. 2. Ошибочная цепочка: 14 + (−6) − 3 → 14 + 6 − 3 → 17. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
3. 3. Ошибочная цепочка: 7 − 3 − (−5) → 7 − 3 − 5 → -1. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
4. 4. Ошибочная цепочка: −11 − (−8) + 4 → −11 − 8 + 4 → -15. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
5. 5. Ошибочная цепочка: 18 + (−7) − (−6) → 18 + 7 + 6 → 31. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
6. 6. Ошибочная цепочка: 20 − (−5) + 7 → 20 − 5 + 7 → 22. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
7. 7. Ошибочная цепочка: 13 + (−9) − 2 → 13 + 9 − 2 → 20. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
8. 8. Ошибочная цепочка: 16 − 4 − (−9) → 16 − 4 − 9 → 3. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
9. 9. Ошибочная цепочка: −8 − (−6) + 3 → −8 − 6 + 3 → -11. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
10. 10. Ошибочная цепочка: 23 + (−8) − (−5) → 23 + 8 + 5 → 36. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.

Второй раунд: проверяем внимательно

В этой половине встречаются такие же типы знаковых ловушек с другими числами. Сначала сделайте прогноз: будет ли результат больше или меньше показанного? Затем раскройте скобки и проверьте себя вычислением.

1. 11. Ошибочная цепочка: 15 − (−3) + 8 → 15 − 3 + 8 → 20. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
2. 12. Ошибочная цепочка: 19 + (−7) − 4 → 19 + 7 − 4 → 22. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
3. 13. Ошибочная цепочка: 10 − 5 − (−7) → 10 − 5 − 7 → -2. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
4. 14. Ошибочная цепочка: −21 − (−9) + 2 → −21 − 9 + 2 → -28. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
5. 15. Ошибочная цепочка: 17 + (−6) − (−9) → 17 + 6 + 9 → 32. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
6. 16. Ошибочная цепочка: 12 − (−4) + 5 → 12 − 4 + 5 → 13. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
7. 17. Ошибочная цепочка: 25 + (−8) − 3 → 25 + 8 − 3 → 30. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
8. 18. Ошибочная цепочка: 14 − 7 − (−6) → 14 − 7 − 6 → 1. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
9. 19. Ошибочная цепочка: −22 − (−5) + 4 → −22 − 5 + 4 → -23. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.
10. 20. Ошибочная цепочка: 27 + (−9) − (−8) → 27 + 9 + 8 → 44. Найдите ровно один неверно поставленный знак, перепишите правильный переход и вычислите результат.

Ответы и проверка — для учителя и родителя

Этот раздел находится после всех заданий. Для самостоятельной работы распечатайте ученику страницы до линии раздела с ключами либо закройте ответы отдельным листом.

Пояснения: задания 1–10

1. 1. Правильное преобразование: 9 − (−4) + 2 → 9 + 4 + 2 = 15. Причина: минус перед отрицательным числом превращает вычитание в сложение. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 7; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
2. 2. Правильное преобразование: 14 + (−6) − 3 → 14 − 6 − 3 = 5. Причина: прибавление отрицательного числа означает вычитание его модуля. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 17; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
3. 3. Правильное преобразование: 7 − 3 − (−5) → 7 − 3 + 5 = 9. Причина: вычитание отрицательного числа заменяется сложением. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено -1; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
4. 4. Правильное преобразование: −11 − (−8) + 4 → −11 + 8 + 4 = 1. Причина: два минуса при раскрытии скобок дают плюс. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено -15; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
5. 5. Правильное преобразование: 18 + (−7) − (−6) → 18 − 7 + 6 = 17. Причина: при сложении отрицательного числа сохраняется минус; второе раскрытие скобок верное. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 31; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
6. 6. Правильное преобразование: 20 − (−5) + 7 → 20 + 5 + 7 = 32. Причина: минус перед отрицательным числом превращает вычитание в сложение. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 22; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
7. 7. Правильное преобразование: 13 + (−9) − 2 → 13 − 9 − 2 = 2. Причина: прибавление отрицательного числа означает вычитание его модуля. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 20; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
8. 8. Правильное преобразование: 16 − 4 − (−9) → 16 − 4 + 9 = 21. Причина: вычитание отрицательного числа заменяется сложением. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 3; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
9. 9. Правильное преобразование: −8 − (−6) + 3 → −8 + 6 + 3 = 1. Причина: два минуса при раскрытии скобок дают плюс. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено -11; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
10. 10. Правильное преобразование: 23 + (−8) − (−5) → 23 − 8 + 5 = 20. Причина: при сложении отрицательного числа сохраняется минус; второе раскрытие скобок верное. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 36; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.

Пояснения: задания 11–20

1. 11. Правильное преобразование: 15 − (−3) + 8 → 15 + 3 + 8 = 26. Причина: минус перед отрицательным числом превращает вычитание в сложение. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 20; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
2. 12. Правильное преобразование: 19 + (−7) − 4 → 19 − 7 − 4 = 8. Причина: прибавление отрицательного числа означает вычитание его модуля. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 22; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
3. 13. Правильное преобразование: 10 − 5 − (−7) → 10 − 5 + 7 = 12. Причина: вычитание отрицательного числа заменяется сложением. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено -2; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
4. 14. Правильное преобразование: −21 − (−9) + 2 → −21 + 9 + 2 = -10. Причина: два минуса при раскрытии скобок дают плюс. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено -28; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
5. 15. Правильное преобразование: 17 + (−6) − (−9) → 17 − 6 + 9 = 20. Причина: при сложении отрицательного числа сохраняется минус; второе раскрытие скобок верное. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 32; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
6. 16. Правильное преобразование: 12 − (−4) + 5 → 12 + 4 + 5 = 21. Причина: минус перед отрицательным числом превращает вычитание в сложение. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 13; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
7. 17. Правильное преобразование: 25 + (−8) − 3 → 25 − 8 − 3 = 14. Причина: прибавление отрицательного числа означает вычитание его модуля. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 30; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
8. 18. Правильное преобразование: 14 − 7 − (−6) → 14 − 7 + 6 = 13. Причина: вычитание отрицательного числа заменяется сложением. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 1; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
9. 19. Правильное преобразование: −22 − (−5) + 4 → −22 + 5 + 4 = -13. Причина: два минуса при раскрытии скобок дают плюс. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено -23; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.
10. 20. Правильное преобразование: 27 + (−9) − (−8) → 27 − 9 + 8 = 26. Причина: при сложении отрицательного числа сохраняется минус; второе раскрытие скобок верное. В ошибочной цепочке после замены знака вычислено 44; именно поэтому ошибку удобно локализовать на переходе.

Самостоятельный алгоритм на следующую работу

Нельзя исправлять ошибку, просто подгоняя ответ под ожидание. Надёжнее проверить преобразование символ за символом: выражение слева должно иметь то же значение, что выражение справа. Сложение отрицательного числа уменьшает результат; вычитание отрицательного — увеличивает. Если есть сомнение, начертите короткую числовую прямую и покажите изменение на ней.

При проверке учитель может ставить один балл за правильно обнаруженный знак и один за правильное вычисление. Если итог неверный, но ученик точно нашёл ошибочный переход, это не тот же пробел, что незнание правил раскрытия скобок. Предложите исправить только найденный шаг, а не решать всю цепочку по памяти.