Тренажёр для 6 класса — нахождение отношения двух величин в одинаковых единицах

Отношение двух величин показывает, как первая величина соотносится со второй. Запись 18 : 12 читают «восемнадцать к двенадцати»; после деления обеих частей на 6 получают 3 : 2. Это не пара отдельных ответов и не сумма: отношение связано с частным, поэтому порядок чисел важен. Если поменять величины местами, получится обратное отношение 2 : 3.

Входная диагностика — четыре сравнения

Решите первые четыре пункта без подсказок. После проверки ответьте: почему отношение 750 г к 500 г можно сократить, но нельзя сложить значения вместо деления? Обе величины измерены одинаковыми единицами, поэтому килограммы, граммы и другие подписи не меняют итогового числового отношения, если единица одна и та же.

1. 1. Длина первой и второй верёвки: 18 м и 12 м. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
2. 2. Масса муки и сахара: 750 г и 500 г. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
3. 3. Время чтения и рисования: 45 мин и 30 мин. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
4. 4. Расход двух красок: 36 мл и 24 мл. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.

Карточка А: длины, количества и массы

Задания 5–12 выполняйте за один подход. Записывайте отношение в том порядке, в котором названы объекты. При сокращении покажите на полях общий делитель, чтобы ответ можно было проверить без калькулятора.

1. 5. Длина двух маршрутов: 14 км и 21 км. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
2. 6. Число зелёных и красных жетонов: 20 шт. и 15 шт.. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
3. 7. Высота двух шкафов: 180 см и 120 см. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
4. 8. Масса двух посылок: 9 кг и 6 кг. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
5. 9. Объём двух бутылок: 600 мл и 900 мл. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
6. 10. Площадь двух плакатов: 48 дм² и 32 дм². Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
7. 11. Количество яблок и груш: 24 шт. и 18 шт.. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
8. 12. Протяжённость двух дорожек: 25 м и 40 м. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.

Карточка Б: закрепление на разных измерениях

В заданиях 13–20 встречаются большие числа и нестандартные единицы. Не нужно искусственно переводить миллиметры в метры, если обе сравниваемые величины уже приведены к одинаковой единице. Если величины были бы в разных единицах, до составления отношения их следовало бы привести к одной.

1. 13. Число страниц двух рассказов: 64 стр. и 48 стр.. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
2. 14. Время двух тренировок: 35 мин и 50 мин. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
3. 15. Ширина двух лент: 12 мм и 28 мм. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
4. 16. Масса двух упаковок: 420 г и 630 г. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
5. 17. Объём двух аквариумов: 30 л и 45 л. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
6. 18. Длина двух досок: 96 см и 72 см. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
7. 19. Количество книг на двух полках: 27 шт. и 36 шт.. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.
8. 20. Высота двух растений: 42 см и 56 см. Запишите отношение первой величины ко второй и выразите его наименьшими целыми числами.

Как читать результат

Отношение 3 : 2 означает, что на каждые три одинаковые части первой величины приходятся две такие же части второй. При этом нельзя автоматически говорить, что разность чисел равна единице измерения: разность 18 м − 12 м равна 6 м, но отношение 3 : 2 — безразмерное. Не путайте эти вопросы.

Ответы и проверка — для учителя и родителя

Этот раздел находится после всех заданий. Для самостоятельной работы распечатайте ученику страницы до линии раздела с ключами либо закройте ответы отдельным листом.

Диагностика

1. 1. 18 : 12 = 3 : 2. НОД(18, 12) = 6; обе части разделены на 6. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
2. 2. 750 : 500 = 3 : 2. НОД(750, 500) = 250; обе части разделены на 250. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
3. 3. 45 : 30 = 3 : 2. НОД(45, 30) = 15; обе части разделены на 15. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
4. 4. 36 : 24 = 3 : 2. НОД(36, 24) = 12; обе части разделены на 12. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.

Карточка А

1. 5. 14 : 21 = 2 : 3. НОД(14, 21) = 7; обе части разделены на 7. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
2. 6. 20 : 15 = 4 : 3. НОД(20, 15) = 5; обе части разделены на 5. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
3. 7. 180 : 120 = 3 : 2. НОД(180, 120) = 60; обе части разделены на 60. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
4. 8. 9 : 6 = 3 : 2. НОД(9, 6) = 3; обе части разделены на 3. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
5. 9. 600 : 900 = 2 : 3. НОД(600, 900) = 300; обе части разделены на 300. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
6. 10. 48 : 32 = 3 : 2. НОД(48, 32) = 16; обе части разделены на 16. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
7. 11. 24 : 18 = 4 : 3. НОД(24, 18) = 6; обе части разделены на 6. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
8. 12. 25 : 40 = 5 : 8. НОД(25, 40) = 5; обе части разделены на 5. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.

Карточка Б

1. 13. 64 : 48 = 4 : 3. НОД(64, 48) = 16; обе части разделены на 16. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
2. 14. 35 : 50 = 7 : 10. НОД(35, 50) = 5; обе части разделены на 5. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
3. 15. 12 : 28 = 3 : 7. НОД(12, 28) = 4; обе части разделены на 4. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
4. 16. 420 : 630 = 2 : 3. НОД(420, 630) = 210; обе части разделены на 210. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
5. 17. 30 : 45 = 2 : 3. НОД(30, 45) = 15; обе части разделены на 15. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
6. 18. 96 : 72 = 4 : 3. НОД(96, 72) = 24; обе части разделены на 24. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
7. 19. 27 : 36 = 3 : 4. НОД(27, 36) = 9; обе части разделены на 9. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.
8. 20. 42 : 56 = 3 : 4. НОД(42, 56) = 14; обе части разделены на 14. Порядок сохраняется: первое число относится именно к первой названной величине.

Критерии самопроверки

• Каждый ответ записан как «первая : вторая», без перестановки величин.
• Обе части полученного отношения — целые положительные числа, их НОД равен 1.
• Исходное отношение и сокращённое имеют равные частные: например, 18/12 = 3/2.
• Если величины заданы в разных единицах, их сначала надо привести к одной; все числа в данном листе уже согласованы.

Учителю: на первой карточке обнаруживаются две разные ошибки — перестановка величин и неправильное сокращение. Во второй полезно спросить ученика, какую часть правила он использовал: отношение величин — это отношение их числовых значений после приведения к одинаковым единицам. Если запись 3 : 2 вызывает трудности, дайте проверить её как дробь 3/2.