Пошаговый практикум: сокращение отношений до простейшего вида — 6 класс

Цель короткого практикума — научиться приводить отношения к простейшему виду, не изменяя их смысл. Если записано 12 : 18, можно одновременно разделить обе части на 6 и получить 2 : 3. Нельзя уменьшать только одну часть: тогда меняется числовое значение отношения. Эта работа рассчитана на быстрое повторение НОД перед задачами на пропорции.

Правило и два разобранных примера

Правило. Найдите наибольший общий делитель двух целых положительных частей отношения. Разделите на него каждую часть. В результате должны получиться взаимно простые числа — то есть их общий положительный делитель только 1.

Пример 1. 20 : 30 = (20 : 10) : (30 : 10) = 2 : 3. Проверка: 20/30 = 2/3.

Пример 2. 42 : 70. НОД(42, 70) = 14, поэтому 42 : 70 = 3 : 5. Проверяем: 42 · 5 = 70 · 3 = 210; отношение не изменилось.

Карточка: 14 шагов к простейшему отношению

Для каждого номера выполните три действия: выпишите общий делитель, сократите обе части, убедитесь, что новый НОД равен единице. Выполняйте письменно только сокращение: сами отношения специально подобраны так, чтобы у всех был общий делитель больше 1.

1. 1. Сократите отношение 12 : 18 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
2. 2. Сократите отношение 24 : 36 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
3. 3. Сократите отношение 45 : 60 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
4. 4. Сократите отношение 28 : 42 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
5. 5. Сократите отношение 81 : 108 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
6. 6. Сократите отношение 32 : 56 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
7. 7. Сократите отношение 75 : 125 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
8. 8. Сократите отношение 96 : 144 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
9. 9. Сократите отношение 63 : 90 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
10. 10. Сократите отношение 84 : 126 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
11. 11. Сократите отношение 54 : 72 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
12. 12. Сократите отношение 70 : 105 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
13. 13. Сократите отношение 150 : 225 до простейшего вида и запишите НОД его частей.
14. 14. Сократите отношение 144 : 216 до простейшего вида и запишите НОД его частей.

Самодиагностика: где чаще ошибаются

Ошибка «12 : 18 = 6 : 18» появляется, когда делят только первое число. Ошибка «12 : 18 = 12 − 6 : 18 − 6» недопустима: вычитание одинакового числа из обеих частей не сохраняет частное. Правильное преобразование — только умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число.

Ответы и проверка — для учителя и родителя

Этот раздел находится после всех заданий. Для самостоятельной работы распечатайте ученику страницы до линии раздела с ключами либо закройте ответы отдельным листом.

1. 1. НОД(12, 18) = 6. Делим обе части на 6: 2 : 3. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
2. 2. НОД(24, 36) = 12. Делим обе части на 12: 2 : 3. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
3. 3. НОД(45, 60) = 15. Делим обе части на 15: 3 : 4. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
4. 4. НОД(28, 42) = 14. Делим обе части на 14: 2 : 3. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
5. 5. НОД(81, 108) = 27. Делим обе части на 27: 3 : 4. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
6. 6. НОД(32, 56) = 8. Делим обе части на 8: 4 : 7. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
7. 7. НОД(75, 125) = 25. Делим обе части на 25: 3 : 5. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
8. 8. НОД(96, 144) = 48. Делим обе части на 48: 2 : 3. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
9. 9. НОД(63, 90) = 9. Делим обе части на 9: 7 : 10. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
10. 10. НОД(84, 126) = 42. Делим обе части на 42: 2 : 3. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
11. 11. НОД(54, 72) = 18. Делим обе части на 18: 3 : 4. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
12. 12. НОД(70, 105) = 35. Делим обе части на 35: 2 : 3. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
13. 13. НОД(150, 225) = 75. Делим обе части на 75: 2 : 3. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.
14. 14. НОД(144, 216) = 72. Делим обе части на 72: 2 : 3. Новый НОД равен 1 — дальше сокращать нельзя.

Дополнительный способ проверки. Для ответа p : q сравните перекрёстные произведения исходных a : b и новых p : q: должно быть a·q = b·p. Так можно проверить сохранение отношения без десятичных дробей. Для окончательной несократимости отдельно убедитесь, что НОД(p, q) = 1.

Если ученик правильно вычислил НОД, но разделил только одну часть, дайте ему повторить пример с рисунком двух групп. Если обе части сократились, но не до взаимно простых чисел, проверьте поиск НОД. Эти два случая требуют разного исправления ошибки.