Учимся решать: признаки делимости на 3 и 9 по сумме цифр — задания для 6 класса

6 класс · короткая диагностическая карточка. Чтобы проверить делимость натурального числа на 3 или 9, не нужно выполнять деление столбиком: достаточно найти сумму его цифр. Две проверки похожи, но не равнозначны.

Правило на один взгляд

На 3: число делится без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. На 9: число делится без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Поэтому любое число, кратное 9, кратно 3, но не всякое кратное 3 делится на 9.

Два разобранных примера

Пример А: 4 572. Складываем 4 + 5 + 7 + 2 = 18. Число 18 делится и на 3, и на 9. Значит, исходное 4 572 также делится на 3 и на 9. Быстрая проверка: 4 572 : 9 = 508.

Пример Б: 4 573. Сумма цифр 4 + 5 + 7 + 3 = 19. Число 19 не делится ни на 3, ни на 9; следовательно, 4 573 не делится ни на один из двух делителей. Последняя цифра здесь не помогает — важна именно сумма всех цифр.

Самостоятельный тренажёр: 14 пунктов

В № 1–8 укажи сумму цифр и выбери один из ответов: «на 3 и 9», «только на 3», «ни на 3, ни на 9». В № 9–14 запиши короткое объяснение.

1. 234.
2. 352.
3. 729.
4. 546.
5. 450.
6. 1 008.
7. 2 216.
8. 943.
9. Какие цифры можно поставить вместо □ в числе 6□3, чтобы оно делилось на 9? Запиши все варианты.
10. В числе 51□ подбери все цифры так, чтобы число делилось на 3, но не на 9.
11. В записи 4□5 замени квадрат цифрой так, чтобы получилось число, кратное 9.
12. Можно ли без деления доказать, что 3 654 делится на 9? Покажи вычисление.
13. Сравни 2 118 и 2 124: какое число делится на 9, а какое только на 3?
14. Приведи натуральное число, которое делится на 3, но не делится на 9, и докажи выбор суммой цифр.

Ответы для учителя и самопроверки

1. 2 + 3 + 4 = 9 — на 3 и 9.
2. 3 + 5 + 2 = 10 — ни на 3, ни на 9.
3. 7 + 2 + 9 = 18 — на 3 и 9.
4. 5 + 4 + 6 = 15 — только на 3.
5. 4 + 5 + 0 = 9 — на 3 и 9.
6. 1 + 0 + 0 + 8 = 9 — на 3 и 9.
7. 2 + 2 + 1 + 6 = 11 — ни на 3, ни на 9.
8. 9 + 4 + 3 = 16 — ни на 3, ни на 9.
9. 0 или 9: суммы цифр 9 и 18; числа 603 и 693 кратны 9.
10. 0, 6 или 9: суммы 6, 12, 15 делятся на 3, но не на 9. Цифра 3 даёт сумму 9 и не подходит.
11. 0 или 9: суммы 9 и 18; возможные числа 405 и 495.
12. Да: 3 + 6 + 5 + 4 = 18, а 18 кратно 9.
13. 2 118: сумма 12, только на 3. 2 124: сумма 9, на 3 и 9.
14. Например, 42: 4 + 2 = 6, что делится на 3, но не на 9.

Разбираем три распространённые ошибки

Ошибка 1. «Если последняя цифра 9, то число делится на 9». Неверно: 29 оканчивается на 9, но 2 + 9 = 11, а 11 на 9 не делится. Ошибка 2. «Если число делится на 3, оно обязательно делится на 9». Контрпример — 12: сумма 3, на 9 число не делится. Ошибка 3. «Нули в числе нужно игнорировать вместе с другими цифрами». Нули действительно не меняют сумму, но все ненулевые цифры учитывать обязательно: для 1 008 сумма равна 9, а не 8.

Как проверить результат. Сначала пересчитай сумму цифр в обратном порядке, затем раздели эту сумму на 3 и на 9. При спорном ответе проверь одно исходное число обычным делением. Учителю можно использовать первые восемь пунктов как пятиминутную диагностику, а задания с пропусками — как дополнительный уровень. В разных программах 6 класса эти признаки могут вводиться в разном порядке; карточку лучше давать после объяснения признака делимости на 9.