Признак делимости на 4 по последним двум цифрам — мини-тест с разбором для 6 класса

6 класс · мини-тест и исследовательский практикум. Признак делимости на 4 легко проверить без длинного деления: посмотри только на последние две цифры натурального числа. Если образованное ими число делится на 4, то делится на 4 и всё исходное число. Окончание «00» тоже подходит.

Откуда берётся правило: модель сотен

Представь число как сумму полных сотен и остатка от 0 до 99. Например, 2 316 = 2 300 + 16. Каждая сотня состоит из 25 четвёрок, поэтому 2 300 делится на 4. Остаётся проверить лишь 16. Поскольку 16 = 4 × 4, число 2 316 делится на 4. А для 2 318 последние две цифры — 18; после образования четвёрок останется 2, значит 2 318 на 4 не делится.

Мини-схема для рассуждения:

Проверяй не наличие цифры «4» в записи, а двузначное окончание целиком. Окончание «08» понимается как число 8; оно делится на 4.

Исследование 1: найди закономерность

В № 1–6 укажи «да» или «нет», подчеркни последние две цифры и при необходимости запиши деление соответствующего двузначного числа.

1. 1 316.
2. 2 742.
3. 9 900.
4. 8 125.
5. 4 808.
6. 13 050.

Исследование 2: один взгляд вместо деления

В каждом задании решающим будет окончание. Объясни решение одной фразой, не выполняя деление большого числа.

7. Из четырёх чисел 7 212, 7 214, 7 216, 7 218 выбери все кратные 4.
8. Верно ли, что 5 724 делится на 4?
9. Верно ли, что 6 750 делится на 4?
10. Верно ли, что 4 132 делится на 4?
11. Верно ли, что 2 902 делится на 4?
12. Верно ли, что 7 400 делится на 4?

Лаборатория пропущенных цифр

Знак □ — одна цифра от 0 до 9. Найди все подходящие значения, при которых число делится на 4. Если сомневаешься, выпиши возможные двузначные окончания и зачеркни неподходящие.

13. 58□.
14. 61□.
15. 3□0.
16. 92□4.
17. 47□2.
18. 63□8.

Проверка утверждений

Для каждого утверждения запиши «верно» или «неверно» и одно объяснение либо контрпример.

19. Каждое чётное число обязательно делится на 4.
20. Любое натуральное число, оканчивающееся на 00, делится на 4.
21. Любое число, делящееся на 4, обязательно делится на 2.
22. Если последние две цифры — 04, то число делится на 4.

Применение: группы без остатка

В № 23–28 сначала проверь признак, а затем найди число полных четвёрок или остаток. При делении большого числа полезно сделать проверку умножением найденного частного на 4.

23. 148 стульев ставят рядами по четыре. Сколько полных рядов?
24. Есть 202 билета. Можно ли разделить их на стопки по четыре без остатка? Сколько останется?
25. 316 фишек упаковывают по четыре. Сколько одинаковых пакетов получится?
26. На распечатку пришло 2 024 страницы. Сколько пачек по четыре страницы можно составить?
27. 5 012 деталей раскладывают по четыре. Сколько четвёрок получится?
28. 9 996 карточек раскладывают поровну по четыре. Каков результат деления?

Ключ и разбор: сверь шаги после самостоятельной работы

Исследования

1. Да: 16 : 4 = 4.
2. Нет: 42 : 4 даёт остаток 2.
3. Да: окончание 00, все полные сотни кратны 4.
4. Нет: 25 при делении на 4 даёт остаток 1.
5. Да: 08 соответствует 8, а 8 = 4 × 2.
6. Нет: 50 : 4 даёт остаток 2.
7. 7 212 и 7 216: окончания 12 и 16 кратны 4, а 14 и 18 — нет.
8. Да: 24 = 4 × 6.
9. Нет: у 50 остаток 2.
10. Да: 32 = 4 × 8.
11. Нет: у 02 остаток 2.
12. Да: 00 делится на 4.

Пропущенные цифры

13. 0, 4, 8: возможные окончания 80, 84, 88.
14. 2, 6: из 10–19 кратными 4 являются 12 и 16.
15. 0, 2, 4, 6, 8: окончания 00, 20, 40, 60, 80.
16. 0, 2, 4, 6, 8: окончания 04, 24, 44, 64, 84.
17. 1, 3, 5, 7, 9: окончания 12, 32, 52, 72, 92.
18. 0, 2, 4, 6, 8: окончания 08, 28, 48, 68, 88.

Верно или неверно?

19. Неверно: например, 18 чётное, но на 4 не делится.
20. Верно: последние две цифры 00 соответствуют остатку 0.
21. Верно: 4 = 2 × 2, значит кратное 4 кратно и 2.
22. Верно: 04 означает 4, а 4 делится на 4.

Прикладные ответы

23. 37 рядов, 148 : 4 = 37.
24. Нет, остаток 2: 202 = 4 × 50 + 2.
25. 79 пакетов, 316 : 4 = 79.
26. 506 пачек, 2 024 : 4 = 506.
27. 1 253 группы, 5 012 : 4 = 1 253.
28. 2 499 групп, 9 996 : 4 = 2 499.

Дополнительное объяснение для проверки выводов

Проверка делимости на 4 нужна не только в готовых числах. Она помогает понять, почему ученику нельзя делить число 202 на группы по четыре: последние две цифры образуют 02, а 2 не кратно четырём. Возможны 50 полных групп, но две единицы останутся. Напротив, 5 012 оканчивается на 12, и именно это позволяет сразу утверждать, что остатка не будет, ещё до нахождения частного 1 253.

Можно проверить правило на парах чисел с одинаковыми окончаниями. Числа 124 и 9 124 оба оканчиваются на 24 и оба делятся на 4. Числа 126 и 9 126 оба оканчиваются на 26 и оба дают остаток 2. Это показывает, что увеличение тысяч и сотен не меняет итог: добавляются только целые сотни, каждая из которых сама кратна четырём. Такой опыт особенно полезен тем, кто механически запомнил правило, но сомневается в его применении к длинной записи.

Методические замечания

Главное затруднение обычно возникает не в делении числа 24 на 4, а в том, что ученик смотрит на произвольную цифру посередине записи. Подчеркните два последних разряда. Числа 4 808 и 13 050 удобно сопоставлять: в первом окончание 08 кратно 4, во втором 50 не кратно. Объяснение через полные сотни показывает, почему правило работает, а не требует только заучивания.

При проверке пропущенных цифр попросите выписать не одну подходящую цифру, а полный набор; иначе ответ 0 вместо 0, 4, 8 в № 13 будет неполным. Более уверенным ученикам предложите доказать, что любые 100 последовательных чисел содержат ровно 25 чисел, кратных 4: остатки 0, 1, 2, 3 повторяются по кругу, и один из четырёх последовательных членов кратен 4.

Для печати: от начала статьи до заголовка «Ключ и разбор» — версия ученику, ниже — версия учителю. Оценка: 28 пунктов, в № 13–18 балл начисляется только за полный набор цифр. Для короткой контрольной достаточно заданий 1–12 и 19–22; лабораторию пропусков можно вынести на отдельный урок. Признак делимости на 4 может быть дополнительным материалом в отдельных программах шестого класса.

Почему нельзя смотреть на одну последнюю цифру

Для делимости на 2 действительно хватает последней цифры. Но для делимости на 4 это правило не работает: числа 12 и 22 заканчиваются одинаковой цифрой 2, однако 12 = 3 × 4, а 22 = 5 × 4 + 2. Пара последних разрядов нужна потому, что десять не кратно четырём, а сто кратно. В записи вида «сотни + десятки + единицы» сотни уже не меняют остаток при делении на четыре, а десятки с единицами ещё могут изменить.

Полезная мысленная модель — разложение в столбики по сто. Для числа 5 724 мысленно отложи 5 700, то есть 57 полных сотен. Каждая сотня даёт 25 полных четвёрок. Остаётся 24; это ещё шесть четвёрок. Значит, на 4 делится и всё число. В числе 5 726 остаётся 26; двадцать четыре можно разделить на четвёрки, а две единицы останутся лишними. Так простая модель объясняет и положительный, и отрицательный ответ.

Как систематически находить пропущенные цифры

В задании 13 число 58□ может оканчиваться на 80, 81, 82 и так далее до 89. Вместо десяти проб делением на 4 вспомни знакомые кратные 4 в этом десятке: 80, 84, 88. Поэтому возможны только три цифры — 0, 4 и 8. В задании 17 окончания относятся к другому диапазону: 02, 12, 22, 32, …, 92. Число, оканчивающееся на 2, иногда делится на 4, иногда нет. Кратные 4 здесь 12, 32, 52, 72, 92; следовательно, подходящие цифры — 1, 3, 5, 7, 9.

Другой способ — начать с одного кратного 4 и прибавлять по 4: 04, 08, 12, 16, 20, 24, …, 96. Такой список удобно подготовить для слабой группы, но для полноценного освоения признака ученик должен уметь объяснить, почему достаточно окончания, а не проверять исходное многозначное число целиком. Во время обсуждения попросите показать, как меняется результат, если в том же числе заменить только последние две цифры.

Особый случай — окончание «00». Оно не означает, что нужно делить на 4 число с двумя потерянными разрядами: ноль делится на 4 без остатка. Например, 7 400 = 74 × 100, а 100 = 4 × 25; число 7 400 целиком кратно 4. Такая проверка позволяет избежать распространённого ложного вывода, будто нули вообще нужно вычёркивать из записи числа без объяснения.