Разбор типичных ошибок: степени с одинаковым основанием при делении — 7 класс

7 класс · работа над типичными ошибками. Фамилия ______________________ Дата __________. Тема ограничена делением степеней с одинаковым ненулевым основанием; показатели в примерах — натуральные, в одном случае результат имеет нулевой показатель.

Содержание статьи9 разделов

Разобранная ловушка

Ученик записал a⁷ : a² = a⁹. Он перенёс правило умножения степеней на деление. Правильно: a⁷ : a² = a⁵, поскольку из семи одинаковых множителей a сокращаются два. В алгебраической записи aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при a ≠ 0; в приведённых упражнениях m ≥ n, так что показатель не становится отрицательным.

Почему нужно условие a ≠ 0? При нулевом основании знаменатель aⁿ равен нулю, а деление на нуль не определено. Именно поэтому x⁵ : x⁵ = 1 означает x ≠ 0. Если x = 0, исходное выражение не имеет смысла, хотя написанная «единица» существует как число. Такая оговорка важна для корректного ответа.

Ловушки для самостоятельного исправления

Задания 1–8. В каждом пункте написано решение другого ученика. Отметь «верно» или «ошибка». Если ошибка есть, исправь правую часть и одним предложением назови нарушенное правило. Два утверждения здесь уже правильные — не исправляй их ради исправления.

  1. Проверь запись a8 : a3 = a11. Решение: _____________
  2. Проверь запись 26 : 22 = 23. Решение: _____________
  3. Проверь запись x7 : x7 = 0. Решение: _____________
  4. Проверь запись b9 : b4 = b36. Решение: _____________
  5. Проверь запись 54 : 52 = 52. Решение: _____________
  6. Проверь запись m5 : m = m5. Решение: _____________
  7. Проверь запись 73 : 71 = 72. Решение: _____________
  8. Проверь запись y10 : y8 = y18. Решение: _____________

Чистовая карточка после работы над ошибками

Задания 9–18. Реши без подсказок. Для чисел допиши значение степени; для букв оставь упрощённую степень. Во всех буквенных частных подразумевается ненулевое основание. Выполнив десятый пункт, обязательно проверь его сложением показателей: искомый показатель минус 3 должен быть равен 5.

  1. t11 : t4 = __________________
  2. 36 : 32 = __________________
  3. p8 : p3 = __________________
  4. q6 : q = __________________
  5. 45 : 43 = __________________
  6. n9 : n9 = __________________
  7. 84 : 82 = __________________
  8. s12 : s5 = __________________
  9. 27 : 24 = __________________
  10. c□ : c3 = c5; □ = __________________

Проверка обратным действием

Умножь найденное частное на делитель: например, (a⁵) · (a²) = a⁷, значит, деление a⁷ : a² выполнено верно. Если вместо исходной степени получилось другое выражение, ищи ошибку в вычитании показателей. Когда показатели одинаковы, частное равно 1, но только при ненулевом основании.

Разобранные проверки, которые удобно показать на доске

Рассмотрим две разные задачи. Первая: 2⁶ : 2². В обычных числах это 64 : 4 = 16; по закону степеней это 2⁶⁻² = 2⁴ = 16. Ответы совпадают. Вторая: y⁷ : y⁷. При y ≠ 0 делимое и делитель одинаковы, поэтому частное равно единице; по закону степеней показатель получается 7 − 7 = 0 и y⁰ = 1. При y = 0 исходное деление недопустимо.

Ещё один контрольный пример: t⁹ : t⁵ = t⁴. Проверка обратным действием даёт t⁴ · t⁵ = t⁹. Если вместо t⁴ записать t¹⁴, то при обратном умножении получится t¹⁹ и ошибка станет очевидной. Такой способ диагностики удобен в тетради, поскольку требует всего одну дополнительную строку.

Разрешённое упрощение не означает, что можно сокращать разные основания: выражение a⁶ : b² нельзя заменить на a⁴; показатели вычитают только для одинаковой базы. Точно так же в записи 3⁶ : 2² нет основания, общего для обеих степеней; нужно сначала вычислить числовые значения либо преобразовать выражение другим корректным способом.

Ключ с объяснениями к исправлению ловушек

  1. a5. При делении показатели вычитают, не складывают.
  2. 24 = 16. 6 − 2 = 4, а не 6 : 2 = 3.
  3. 1 (при x ≠ 0). x⁰ = 1 для x ≠ 0.
  4. b5. Показатели 9 и 4 не умножают.
  5. верно: 5² = 25. 4 − 2 = 2; это не ловушка с ошибкой.
  6. m4. У m неявный показатель 1.
  7. верно: 7² = 49. 3 − 1 = 2.
  8. y2. 10 − 8 = 2; сложение показателей запрещено.

Ответы к чистовой карточке

  1. t7. Проверка: разность показателей соответствует степени в ответе.
  2. 34 = 81. Проверка: разность показателей соответствует степени в ответе.
  3. p5. Проверка: разность показателей соответствует степени в ответе.
  4. q5. Проверка: разность показателей соответствует степени в ответе.
  5. 42 = 16. Проверка: разность показателей соответствует степени в ответе.
  6. 1 (при n ≠ 0). Проверка: разность показателей соответствует степени в ответе.
  7. 82 = 64. Проверка: разность показателей соответствует степени в ответе.
  8. s7. Проверка: разность показателей соответствует степени в ответе.
  9. 23 = 8. Проверка: разность показателей соответствует степени в ответе.
  10. □ = 8. Проверка: 8 − 3 = 5.

Наблюдения для учителя по типам ошибок

Если ученик исправляет верные утверждения № 5 и № 7, вероятно, он действует по установке «в каждом пункте есть ошибка», а не проверяет математическую запись. Стоит прямо спросить, почему число 25 можно представить как 5² и почему 49 равно 7². Важно научить ребёнка подтверждать правильное решение наравне с исправлением неверного.

Если трудности возникают в № 3 или в чистовом № 14, отдельно повторите случай равных показателей и нулевую степень при ненулевом основании. Если ошибка появляется в № 6 или № 12, акцент нужен на невидимой единице у одиночной буквы. Ученик, который считает 7 − 1 = 6, но сохраняет m⁵ : m = m⁵, обычно забывает не арифметику, а смысл записи m = m¹.

Для обсуждения после проверки

Частая ошибка — путаница арифметического деления чисел и вычитания показателей. В 2⁶ : 2² не нужно делить 6 на 2: основания 2 не делятся друг на друга по отдельности, а одинаковые множители сокращаются. 2⁶ = 64 и 2² = 4; 64 : 4 = 16 = 2⁴.

Второй источник ошибок — забытый показатель 1: m⁵ : m = m⁴. Третий — неверное обнуление при одинаковых показателях: x⁷ : x⁷ = 1, а не 0. Для диагностики учителю достаточно попросить ребёнка устно объяснить, почему y⁶ : y³ = y³ и почему y³ · y³ = y⁶. Если оба действия понимаются как взаимно обратные, правило усвоено. После проверки можно дать дополнительный устный контроль: сравнить 4⁶ : 4³ и 4³. Они равны, поскольку 6 − 3 = 3; такое сравнение не требует длинного вычисления.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым