Рабочий лист: построение графика функции y=kx+b — математика, 7 класс
7 класс · рабочий лист по функции y = kx + b. Фамилия ____________________ Дата __________. Для работы понадобится лист в клетку и линейка. Истории про тарифы — лишь способ увидеть, откуда в формуле берутся коэффициенты; при построении обычных учебных графиков координата x может быть и отрицательной, в отличие от реального времени поездки.
Содержание статьи8 разделов
Ситуация: доставка или прокат
Прокат велосипеда: 15 условных единиц за выдачу и 4 за каждый час. Если x — число часов, а y — общая сумма, то y = 4x + 15. Точка (0; 15) показывает фиксированную плату. Точка (2; 23) показывает два часа аренды. Классическую прямую строим по двум точкам (0; 15), (2; 23), однако для самой задачи о прокате разумно брать только x ≥ 0. Это различие между математической моделью и её областью практического применения.
| Время x, ч | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Прокат y = 4x + 15 | 15 | 19 | 23 | 27 |
| Только часы: 4x | 0 | 4 | 8 | 12 |
Блок A — прочитай условие и получи формулу
В каждом задании отметь, какая часть платы не зависит от количества, а какая изменяется при каждом новом часе или километре. Слово «постоянная» здесь не означает нуль: постоянная плата может быть любой указанной в условии суммой.
- Заказ: постоянная плата 20 единиц, за каждую единицу пути 3. Запиши y(x) и найди стоимость при x = 4. ___________________
- Заказ: постоянная плата 12 единиц, за каждую единицу пути 5. Запиши y(x) и найди стоимость при x = 2. ___________________
- Заказ: постоянная плата 15 единиц, за каждую единицу пути 2. Запиши y(x) и найди стоимость при x = 7. ___________________
- Заказ: постоянная плата 8 единиц, за каждую единицу пути 4. Запиши y(x) и найди стоимость при x = 6. ___________________
- Заказ: постоянная плата 9 единиц, за каждую единицу пути 6. Запиши y(x) и найди стоимость при x = 3. ___________________
Блок B — от формулы к графику
Заполни собственную таблицу из трёх точек. На координатной плоскости отметь их, проведи прямую, подпиши уравнение. Если b отрицательно, пересечение с Oy лежит ниже начала координат. Если k дробное, выбери x так, чтобы вычисления были удобными. В простейших учебных рисунках для проверки достаточно трёх координат, хотя сама прямая содержит бесконечно много точек.
- Составь таблицу и отметь три точки для y = 2x + 3, если x = −1, 0, 2. ___________________
- Составь таблицу и отметь три точки для y = −x + 4, если x = 0, 2, 4. ___________________
- Составь таблицу и отметь три точки для y = 3x − 2, если x = −1, 0, 1. ___________________
- Составь таблицу и отметь три точки для y = −2x + 5, если x = 0, 1, 3. ___________________
- Составь таблицу и отметь три точки для y = 1/2x + 1, если x = −2, 0, 4. ___________________
- Составь таблицу и отметь три точки для y = 4x, если x = −1, 0, 2. ___________________
- Составь таблицу и отметь три точки для y = −3x + 1, если x = 0, 1, 2. ___________________
- Составь таблицу и отметь три точки для y = 2x − 4, если x = 0, 2, 4. ___________________
Блок C — восстанови линейную зависимость
Когда обе точки известны, удобно начать с той, у которой x = 0. Её y сразу равен b. После этого определяй, сколько единиц y прибавляется или убавляется на одну единицу x. Не путай k со свободным членом: k связан с изменением, а b с высотой пересечения вертикальной оси.
- Даны две точки (0; 3) и (2; 7). Составь формулу и назови b. ___________________
- Даны две точки (0; 5) и (2; 3). Составь формулу и назови b. ___________________
- Даны две точки (0; −6) и (2; 0). Составь формулу и назови b. ___________________
- Даны две точки (0; 4) и (2; 0). Составь формулу и назови b. ___________________
Блок D — перенеси навык
В этих пунктах требуется не просто заполнить клетку, а сравнить два значения функции или вернуться к жизненной ситуации. Сначала запиши оба значения y, затем их разность. Знак разности подскажет, выросла или уменьшилась величина.
- По модели y = 2x + 7 сравни значения при x = 3 и x = 5; найди разницу y(5) − y(3). ___________________
- По модели y = 3x + 8 сравни значения при x = 2 и x = 4; найди разницу y(4) − y(2). ___________________
- По модели y = −x + 12 сравни значения при x = 1 и x = 4; найди разницу y(4) − y(1). ___________________
- По модели y = −2x + 13 сравни значения при x = 3 и x = 5; найди разницу y(5) − y(3). ___________________
- Компания берёт 10 единиц за выдачу инструмента и 3 единицы за час. Сколько стоит 5 часов, где график пересечёт Oy? ___________________
Самопроверка до ключа: подставь в каждую полученную формулу x = 0. Если ответ не совпадает с заявленной постоянной платой или с координатой пересечения Oy, значит коэффициенты перепутаны. Для точек на графике подставь x обратно и проверь y. В сюжетных задачах не используй отрицательное время, хотя на полной математической прямой это допустимая координата.
Развёрнутый ключ: моделирование и построения
- y = 3x + 20; y(4) = 32. Складываем фиксированную часть 20 и переменную 3 · 4 = 12.
- y = 5x + 12; y(2) = 22. Складываем фиксированную часть 12 и переменную 5 · 2 = 10.
- y = 2x + 15; y(7) = 29. Складываем фиксированную часть 15 и переменную 2 · 7 = 14.
- y = 4x + 8; y(6) = 32. Складываем фиксированную часть 8 и переменную 4 · 6 = 24.
- y = 6x + 9; y(3) = 27. Складываем фиксированную часть 9 и переменную 6 · 3 = 18.
- y: 1, 3, 7; точки (−1; 1), (0; 3), (2; 7). При x = 0 свободный член равен 3; он даёт пересечение с Oy.
- y: 4, 2, 0; точки (0; 4), (2; 2), (4; 0). При x = 0 свободный член равен 4; он даёт пересечение с Oy.
- y: −5, −2, 1; точки (−1; −5), (0; −2), (1; 1). При x = 0 свободный член равен −2; он даёт пересечение с Oy.
- y: 5, 3, −1; точки (0; 5), (1; 3), (3; −1). При x = 0 свободный член равен 5; он даёт пересечение с Oy.
- y: 0, 1, 3; точки (−2; 0), (0; 1), (4; 3). При x = 0 свободный член равен 1; он даёт пересечение с Oy.
- y: −4, 0, 8; точки (−1; −4), (0; 0), (2; 8). При x = 0 свободный член равен 0; он даёт пересечение с Oy.
- y: 1, −2, −5; точки (0; 1), (1; −2), (2; −5). При x = 0 свободный член равен 1; он даёт пересечение с Oy.
- y: −4, 0, 4; точки (0; −4), (2; 0), (4; 4). При x = 0 свободный член равен −4; он даёт пересечение с Oy.
- y = 2x + 3; b = 3. Из точки при x = 0 сразу получаем b; изменение y на 4 при изменении x на 2 даёт k = 2.
- y = −x + 5; b = 5. Из точки при x = 0 сразу получаем b; изменение y на −2 при изменении x на 2 даёт k = −1.
- y = 3x − 6; b = −6. Из точки при x = 0 сразу получаем b; изменение y на 6 при изменении x на 2 даёт k = 3.
- y = −2x + 4; b = 4. Из точки при x = 0 сразу получаем b; изменение y на −4 при изменении x на 2 даёт k = −2.
- y(3) = 13, y(5) = 17; разница 4. Постоянная часть 7 при вычитании сокращается, остаётся k · (5 − 3).
- y(2) = 14, y(4) = 20; разница 6. Постоянная часть 8 при вычитании сокращается, остаётся k · (4 − 2).
- y(1) = 11, y(4) = 8; разница −3. Постоянная часть 12 при вычитании сокращается, остаётся k · (4 − 1).
- y(3) = 7, y(5) = 3; разница −4. Постоянная часть 13 при вычитании сокращается, остаётся k · (5 − 3).
- y = 3x + 10; 25 единиц; пересечение (0; 10). Стоимость при нуле часов равна только обязательному сбору.
Контроль точности чертежей
Верно построенный график проходит через все три рассчитанные точки. Отдельно найдите на каждом графике точку (0; b) и убедитесь, что она соответствует свободному члену. Обратите внимание учеников: свободный член не меняется при замене одного значения x другим, поэтому разность y всегда равна k, умноженному на разность x. Это позволяет проверить сразу несколько табличных строк без повторного подсчёта постоянной части.
В заданиях о тарифе график реальной ситуации показывают только для неотрицательных значений x. При этом график математической функции y = kx + b задаётся всей прямой. Для сильных учеников можно предложить построить две модели с одинаковым k и разными b и заметить, что прямые параллельны; углублённого доказательства здесь не требуется.
Для учителя: оценивание
Рекомендуется 1 балл за формулу или вычисление и отдельный комментарий о правильном масштабе рисунка. Ошибка «прибавить b только к первому значению» устраняется табличным самоконтролем: повторить подстановку для всех x. Ошибка «перепутать коэффициент и свободный член» устраняется вопросом «чему равна функция при x = 0?». Если ученик неверно провёл прямую, попросите сверить три точки, а не перерисовывать график на глаз.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.