Нули линейной функции по формуле и графику: самостоятельная работа для 7 класса

7 класс · самостоятельная с числовой лабораторией. Имя __________________ Дата __________. Работа объединяет вычисление значений функции, решение уравнения и чтение графика. Задания расположены по исследовательским шагам. Начни с наблюдения таблиц, затем сформулируй правило и применяй его в самостоятельных сериях.

Содержание статьи10 разделов

Лаборатория: где график встречает Ox?

Нуль функции — такое значение аргумента x, при котором y = 0. На графике этой точке соответствует пересечение с горизонтальной осью Ox, поэтому её координаты имеют вид (x; 0). Не путай нуль функции со свободным членом b: для b используется вертикальная ось Oy и значение x = 0.

x 0 1 2 3 4
y = 2x − 6 −6 −4 −2 0 2
y = −x + 3 3 2 1 0 −1

В обеих строках нуль x = 3, хотя наклоны графиков разные. Чтобы найти нуль без рисунка, поставь в формулу y = 0 и реши линейное уравнение. При k ≠ 0 для y = kx + b получаем x = −b/k. Это не новая «волшебная» формула: она получается из равенства 0 = kx + b обычными преобразованиями.

Серия I — заполни три соседние клетки

В каждом пункте заранее заданы три значения x. Заполни соответствующие значения y; найди среди них нуль и объясни, как это видно по знакам значений соседних клеток. Затем поставь точки на чертеже: если вычисления верны, прямая пересечёт Ox в найденном месте.

  1. Для y = 2x − 6 заполни y при x = 2, 3, 4; найди нуль. __________________
  2. Для y = −3x + 6 заполни y при x = 1, 2, 3; найди нуль. __________________
  3. Для y = x + 4 заполни y при x = -5, -4, -3; найди нуль. __________________
  4. Для y = −2x − 6 заполни y при x = -4, -3, -2; найди нуль. __________________
  5. Для y = 3x + 3 заполни y при x = -2, -1, 0; найди нуль. __________________
  6. Для y = −x + 5 заполни y при x = 4, 5, 6; найди нуль. __________________
  7. Для y = 4x заполни y при x = -1, 0, 1; найди нуль. __________________
  8. Для y = −4x + 8 заполни y при x = 1, 2, 3; найди нуль. __________________
  9. Для y = 5x + 10 заполни y при x = -3, -2, -1; найди нуль. __________________

Какая закономерность обнаружилась?

При k > 0 значения y по мере движения вправо увеличиваются; при k < 0 уменьшаются. Если три последовательных значения x отстоят друг от друга на 1, значения y различаются на k. Средняя клетка со значением нуль соответствует пересечению с Ox. Но нуль может находиться между целыми отметками, поэтому одного перебора целых x недостаточно для всех линейных функций.

Серия II — реши уравнение, а затем проверь

Теперь не заполняй таблицу перебором. Сразу приравняй y к нулю, перенеси b в другую часть и раздели на ненулевой k. Обязательно подставь полученный x обратно в исходную формулу. При отрицательном k сохраняй знаки: например, 0 = −2x + 8 означает −2x = −8, значит x = 4.

  1. Реши уравнение 0 = −2x + 8. Найди координаты пересечения с Ox. __________________
  2. Реши уравнение 0 = 3x + 9. Найди координаты пересечения с Ox. __________________
  3. Реши уравнение 0 = 4x − 20. Найди координаты пересечения с Ox. __________________
  4. Реши уравнение 0 = −5x − 10. Найди координаты пересечения с Ox. __________________
  5. Реши уравнение 0 = 2x + 12. Найди координаты пересечения с Ox. __________________
  6. Реши уравнение 0 = 7x − 7. Найди координаты пересечения с Ox. __________________
  7. Реши уравнение 0 = −4x − 16. Найди координаты пересечения с Ox. __________________
  8. Реши уравнение 0 = 6x + 6. Найди координаты пересечения с Ox. __________________
  9. Реши уравнение 0 = −3x + 18. Найди координаты пересечения с Ox. __________________
  10. Реши уравнение 0 = 5x. Найди координаты пересечения с Ox. __________________
  11. Реши уравнение 0 = 8x + 16. Найди координаты пересечения с Ox. __________________

Серия III — случай, когда k = 0

Важное исключение: когда k = 0, выражение y = kx + b превращается в постоянное y = b. Горизонтальная прямая либо никогда не встречает Ox (если b ≠ 0), либо целиком совпадает с Ox (если b = 0). Делить на k в такой ситуации нельзя.

  1. Найди нули постоянной функции y = 3. __________________
  2. Найди нули постоянной функции y = −4. __________________
  3. Найди нули постоянной функции y = 0. __________________

Серия IV — придумай график с заданным нулём

Здесь известны наклон и точка пересечения с Ox, а свободный член неизвестен. Вместо вычисления x найди b: используй равенство 0 = k · x₀ + b. Готовую формулу проверь подстановкой заданного x₀. В такой задаче особенно легко поставить неверный знак перед произведением.

  1. Нужно, чтобы нулём функции с k = 2 было x = -3. Найди b и запиши формулу. __________________
  2. Нужно, чтобы нулём функции с k = −3 было x = 4. Найди b и запиши формулу. __________________
  3. Нужно, чтобы нулём функции с k = 4 было x = 1. Найди b и запиши формулу. __________________
  4. Нужно, чтобы нулём функции с k = −2 было x = -5. Найди b и запиши формулу. __________________

Итог без подсказки

Ответь устно: чем отличаются (x₀; 0) и (0; b)? Почему формула x₀ = −b/k работает только при k ≠ 0? Как проверить найденный нуль, не строя графика? Сделай отметки для собственной проверки в 3 самых сложных заданиях и попробуй решить их повторно на следующий день.

Полный ключ с объяснениями

  1. y: −2, 0, 2; нуль x = 3. Подстановка x = 3 даёт 2 · (3) + (−6) = 0; соседние значения отличаются на 2.
  2. y: 3, 0, −3; нуль x = 2. Подстановка x = 2 даёт −3 · (2) + (6) = 0; соседние значения отличаются на −3.
  3. y: −1, 0, 1; нуль x = -4. Подстановка x = -4 даёт 1 · (-4) + (4) = 0; соседние значения отличаются на 1.
  4. y: 2, 0, −2; нуль x = -3. Подстановка x = -3 даёт −2 · (-3) + (−6) = 0; соседние значения отличаются на −2.
  5. y: −3, 0, 3; нуль x = -1. Подстановка x = -1 даёт 3 · (-1) + (3) = 0; соседние значения отличаются на 3.
  6. y: 1, 0, −1; нуль x = 5. Подстановка x = 5 даёт −1 · (5) + (5) = 0; соседние значения отличаются на −1.
  7. y: −4, 0, 4; нуль x = 0. Подстановка x = 0 даёт 4 · (0) + (0) = 0; соседние значения отличаются на 4.
  8. y: 4, 0, −4; нуль x = 2. Подстановка x = 2 даёт −4 · (2) + (8) = 0; соседние значения отличаются на −4.
  9. y: −5, 0, 5; нуль x = -2. Подстановка x = -2 даёт 5 · (-2) + (10) = 0; соседние значения отличаются на 5.
  10. x = 4; точка (4; 0). Переносим свободный член: −2x = −8, делим на −2; получаем x = 4.
  11. x = -3; точка (-3; 0). Переносим свободный член: 3x = −9, делим на 3; получаем x = -3.
  12. x = 5; точка (5; 0). Переносим свободный член: 4x = 20, делим на 4; получаем x = 5.
  13. x = -2; точка (-2; 0). Переносим свободный член: −5x = 10, делим на −5; получаем x = -2.
  14. x = -6; точка (-6; 0). Переносим свободный член: 2x = −12, делим на 2; получаем x = -6.
  15. x = 1; точка (1; 0). Переносим свободный член: 7x = 7, делим на 7; получаем x = 1.
  16. x = -4; точка (-4; 0). Переносим свободный член: −4x = 16, делим на −4; получаем x = -4.
  17. x = -1; точка (-1; 0). Переносим свободный член: 6x = −6, делим на 6; получаем x = -1.
  18. x = 6; точка (6; 0). Переносим свободный член: −3x = −18, делим на −3; получаем x = 6.
  19. x = 0; точка (0; 0). Переносим свободный член: 5x = 0, делим на 5; получаем x = 0.
  20. x = -2; точка (-2; 0). Переносим свободный член: 8x = −16, делим на 8; получаем x = -2.
  21. Нулей нет. График — горизонтальная прямая, не пересекающая Ox.
  22. Нулей нет. График — горизонтальная прямая, не пересекающая Ox.
  23. Любое действительное x — нуль функции. Это прямая y = 0, совпадающая с осью Ox.
  24. b = 6; y = 2x + 6. Подставляем x = -3 в 0 = kx + b, значит b = −(2) · (-3) = 6.
  25. b = 12; y = −3x + 12. Подставляем x = 4 в 0 = kx + b, значит b = −(−3) · (4) = 12.
  26. b = −4; y = 4x − 4. Подставляем x = 1 в 0 = kx + b, значит b = −(4) · (1) = −4.
  27. b = −10; y = −2x − 10. Подставляем x = -5 в 0 = kx + b, значит b = −(−2) · (-5) = −10.

Проверка таблиц и графиков

Во всех заданиях первой серии центральная клетка должна давать нуль, а крайние — значения с противоположными знаками, поскольку коэффициент k не равен нулю. Любая прямая с ненулевым k пересекает Ox ровно в одной точке. Во второй серии сначала проверьте корректность преобразования уравнения, а потом итоговую подстановку. Если ученик получил правильное число случайным перебором, попросите показать уравнение 0 = kx + b.

Критерии оценивания

В первой серии можно давать по одному баллу за полную таблицу и правильный нуль; во второй — по одному за уравнение и ответ; в третьей важно словесное обоснование отсутствия или бесконечного числа нулей; в четвёртой — верное восстановление b. Для быстрой диагностики подойдут задания 3, 12, 21 и 27: они проверяют отрицательный нуль, отрицательный коэффициент, постоянную функцию и обратную модель.

Методическая заметка: термин «нуль функции» вводится в разном порядке в программах РФ и Казахстана. Если учащиеся ещё не проходили случай постоянной функции, задания 21–23 можно оставить на обсуждение с преподавателем, но основной алгоритм для k ≠ 0 остаётся доступен. Не требуйте от учащихся формального языка теории функций там, где достаточно подстановки.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым