Учимся решать: обратная теорема Виета для подбора корней — задания для 8 класса

Числовая лаборатория по алгебре, 8 класс · 20 заданий. Здесь не просто вспоминают формулу: по сумме S и произведению P нужно восстановить пару корней. Именно так работает обратная теорема Виета. Начните с таблицы числовых наблюдений; после неё учащийся сформулирует алгоритм своими словами и применит его к уравнениям.

Лабораторный стол: как связаны два числа?

Выбирайте сначала знаки. Положительное произведение означает одинаковые знаки, отрицательное — разные. После этого подбирайте множители произведения и складывайте. Заполните оба пустых столбца. Все значения в этой таблице подобраны так, чтобы искомые числа были целыми.

Опыт 2. Применяем обратную теорему

Для каждого уравнения 7–12 выпишите S и P, подберите два числа и кратко проверьте их. Рекомендуемое время — 8 минут.

7. x² − 6x + 5 = 0 Подберите корни.
8. x² + x − 20 = 0 Подберите корни.
9. x² + 7x + 10 = 0 Подберите корни.
10. x² − 4x − 12 = 0 Подберите корни.
11. x² + 2x − 8 = 0 Подберите корни.
12. x² − 2x − 8 = 0 Подберите корни.

Опыт 3. От найденной пары к уравнению

В этой части направление рассуждения обратное: корни уже названы, а коэффициенты предстоит получить. Сначала составьте выражение (x − u)(x − v), затем раскройте скобки. Ответ запишите с коэффициентом при x², равным 1, если не сказано иного.

13. Числа 3 и −7.
14. Числа −2 и −6.
15. Числа 1 и −5.
16. Числа −4 и 4.
17. Числа 1/2 и 4. Дайте ответ с целыми коэффициентами.
18. Числа 0 и −9.
19. Подберите два целых числа с S = 5 и P = 6.
20. Можно ли подобрать два действительных числа с S = 3 и P = 5?

Вопросы для обсуждения

• Почему при нулевой сумме и отрицательном произведении числа противоположны?
• Почему два положительных числа не дают отрицательного произведения?
• Как поступить, если среди целых множителей числа P подходящей пары нет?
• Какая дополнительная проверка нужна, если по условиям требуются действительные корни?

Разбор наблюдений до открытия ключа

Сравните первые две строки таблицы. В обеих произведение положительное: в первой два искомых числа положительны, во второй — отрицательны. Решает знак суммы. При отрицательном произведении, как в третьей и четвёртой строках, знаки обязательно разные. Больший по модулю корень влияет на знак суммы. Это позволяет значительно сократить перебор делителей ещё до записи самого уравнения.

Нулевая сумма при произведении −25 означает, что числа противоположны. Уравнение x² − 25 = 0 относится к разности квадратов и имеет корни 5 и −5. Если сумма 10, а произведение 25, получится пара 5 и 5: наличие одинаковых корней показывает переход к полному квадрату (x − 5)². В обоих случаях можно объяснить ответ без формулы дискриминанта, а затем подтвердить ею.

Что изменится, если произведение не даёт нужной пары целых чисел

Подбор целых делителей — удобный способ, но это не универсальный алгоритм решения квадратных уравнений. Например, для x² − 3x + 1 = 0 сумма равна 3, произведение 1, но пары целых корней нет. Это не доказывает отсутствия действительных корней: D = 9 − 4 = 5, так что корни существуют и равны (3 ± √5)/2. Если вы уже изучали формулу корней, используйте её как дополнительную проверку; если нет, пока достаточно знать об ограничении целочисленного подбора.

А в последнем номере произведение 5 и сумма 3 не могут принадлежать двум действительным корням: соответствующий дискриминант отрицателен. Не смешивайте эти ситуации: «не нашлась целая пара» и «действительных чисел с такими суммой и произведением нет» — разные утверждения. Именно проверка D позволяет провести границу между ними.

Работа в парах и индивидуальная проверка

Один ученик называет S и P, второй подбирает пару и записывает x² − Sx + P = 0. После обмена ролями каждый самостоятельно решает номера 13–20. Для самоконтроля удобно вести отдельный столбец «проверка»: сначала вычислить сумму, затем произведение, затем подставить корни в полученное уравнение. Так ученик получает два способа обнаружить ошибку в знаке.

При оценивании по одному баллу за правильную пару или составленное уравнение получается максимум 20 баллов. Дополнительный балл за каждое записанное обоснование можно предложить только в расширенной версии, иначе шкала изменится. Для быстрой проверки достаточно пометок «знаки», «перебор», «составление» или «корней нет», чтобы ученик получил конкретную подсказку для повторения.

Ещё один способ проверки — поменять выбранные корни местами. Сумма и произведение от этого не изменятся, значит, и соответствующее приведённое квадратное уравнение останется тем же. Если после перестановки вы получили другое уравнение, ищите ошибку в знаках при раскрытии скобок. Этот опыт особенно нагляден в третьей таблице.

Для короткого итогового контроля выберите из разных частей номера 2, 4, 8, 11, 14 и 20. Вместе они проверяют одинаковые знаки, разные знаки, чтение коэффициентов, обратный переход к уравнению и особый случай отсутствия действительных корней. Каждый раз ученик должен записать не только результат, но и одну строку проверки суммы и произведения.

Ответы к лаборатории и закономерности

Ученику: сначала выполните задания; ответы ниже предназначены для сверки после работы. При печати можно выбрать только страницы с заданиями.

Таблица наблюдений 1–6

Корни по готовому уравнению 7–12

7. S = 6, P = 5. Корни 1 и 5; обе величины подтверждают Виета.
8. S = -1, P = -20. Корни 4 и -5; обе величины подтверждают Виета.
9. S = -7, P = 10. Корни -5 и -2; обе величины подтверждают Виета.
10. S = 4, P = -12. Корни 6 и -2; обе величины подтверждают Виета.
11. S = -2, P = -8. Корни 2 и -4; обе величины подтверждают Виета.
12. S = 2, P = -8. Корни 4 и -2; обе величины подтверждают Виета.

Построение уравнения 13–20

13. S = −4, P = −21; x² + 4x − 21 = 0.
14. S = −8, P = 12; x² + 8x + 12 = 0.
15. S = −4, P = −5; x² + 4x − 5 = 0.
16. S = 0, P = −16; x² − 16 = 0.
17. S = 9/2, P = 2; x² − (9/2)x + 2 = 0, или 2x² − 9x + 4 = 0.
18. S = −9, P = 0; x² + 9x = 0.
19. 2 и 3; уравнение x² − 5x + 6 = 0.
20. Нет: соответствующее уравнение x² − 3x + 5 = 0 имеет D = 9 − 20 = −11. Не бывает действительных корней с такими S и P.

Способ самопроверки. Для любой найденной пары u, v вычислите u + v и uv отдельно, а затем подставьте оба значения в исходное квадратное уравнение. Например, для задачи 10: 6 + (−2) = 4, 6·(−2) = −12, поэтому x² − 4x − 12 = 0. Такой двойной контроль помогает выявить ошибку в знаках до сдачи работы.

Если ученик верно определил произведение, но не нашёл корни, предложите выписать все пары целых делителей. Если перепутал прямую и обратную теоремы, вернитесь к записи x² − Sx + P = 0. Корни могут оказаться дробными: отсутствие подходящих целых чисел ещё не означает отсутствие корней.