Задания по математике для 8 класса: решение квадратного уравнения выделением полного квадрата

Маршрут по алгебре · 8 класс · 18 заданий. Способ выделения полного квадрата полезен, когда нужно понять, откуда берутся корни квадратного уравнения. Ученик проходит четыре контрольные точки: узнаёт нужное тождество, заполняет недостающий квадрат, решает уравнение и проверяет число действительных корней. В разных программах России и Казахстана место этого метода в курсе может отличаться; берите работу после знакомства с формулами сокращённого умножения.

Станция 1. Узнайте «недостающий квадрат»

Задания 1–3. Перепишите каждое уравнение как (x + h)² = k, где h может быть отрицательным. Затем назовите корни. Не перескакивайте через преобразование.

1. x² + 6x + 5 = 0 Найдите h, k и действительные корни.
2. x² − 8x + 7 = 0 Найдите h, k и действительные корни.
3. x² + 4x + 4 = 0 Найдите h, k и действительные корни.

Станция 2. Продолжите последовательность шагов

Задания 4–8. Запишите четыре строки: исходное уравнение; перенос свободного члена; дополнение до квадрата; корни. В задаче 8 проверьте, существует ли число, квадрат которого отрицателен.

4. x² − 10x + 16 = 0 Запишите все четыре строки преобразований.
5. x² + 2x − 15 = 0 Запишите все четыре строки преобразований.
6. x² − 2x − 8 = 0 Запишите все четыре строки преобразований.
7. x² + 12x + 35 = 0 Запишите все четыре строки преобразований.
8. x² − 6x + 13 = 0 Запишите все четыре строки преобразований.

Контрольная точка: старший коэффициент не равен единице

Задания 9–13. Перед выделением квадрата разделите уравнение на ненулевой коэффициент при x². Только потом берите половину коэффициента при x. Например, 2x² + 4x − 6 = 0 превращается в x² + 2x − 3 = 0; отсюда (x + 1)² = 4.

9. 2x² + 8x + 6 = 0 Решите, поясните деление на коэффициент при x².
10. 3x² − 6x − 9 = 0 Решите, поясните деление на коэффициент при x².
11. x² + 5x + 6 = 0 Решите, поясните деление на коэффициент при x².
12. x² − 3x − 4 = 0 Решите, поясните деление на коэффициент при x².
13. 4x² − 8x + 3 = 0 Решите, поясните деление на коэффициент при x².

Финишный тест без подсказки

Задания 14–18. Отметьте случаи двух различных действительных корней, одного двукратного корня и отсутствия действительных корней. Если получается √3, оставьте точный ответ: десятичное округление здесь не требуется.

14. x² + 14x + 45 = 0 Запишите квадрат, корни и их количество.
15. x² − 4x + 1 = 0 Запишите квадрат, корни и их количество.
16. x² + x − 2 = 0 Запишите квадрат, корни и их количество.
17. 5x² + 10x + 5 = 0 Запишите квадрат, корни и их количество.
18. x² + 2x + 7 = 0 Запишите квадрат, корни и их количество.

Промежуточная самопроверка

• Проверка № 1: коэффициент перед x² уже равен 1?
• Проверка № 2: вы прибавили квадрат половины коэффициента при x, а не сам коэффициент?
• Проверка № 3: после (x + h)² = k вы записали оба знака ± при k > 0?
• Проверка № 4: при k = 0 назван один двукратный корень, а при k < 0 — отсутствие действительных корней?

Почему метод полного квадрата всегда работает

После деления на ненулевой коэффициент при x² любое квадратное уравнение можно привести к виду x² + px + q = 0. Переносим q в правую часть и прибавляем (p/2)²: (x + p/2)² = (p/2)² − q. Это и есть выделение полного квадрата. Дальше всё зависит от знака правой части: положительное число даёт два разных действительных решения, нуль — одно двукратное, отрицательное — ни одного действительного.

Полная работа с неприведённым уравнением

Разберите на отдельном листе номер 9: 2x² + 8x + 6 = 0. Делим каждое слагаемое на 2 и получаем x² + 4x + 3 = 0. Переносим 3: x² + 4x = −3. Прибавляем к обеим частям 4, потому что (4/2)² = 4. Выходит (x + 2)² = 1. Тогда x + 2 = 1 либо x + 2 = −1; корни −1 и −3. Обе подстановки дают нуль в исходном уравнении.

Номер 10 похож, но после деления на 3 коэффициент при x становится −2. Поэтому половина коэффициента равна −1, и квадрат имеет вид (x − 1)². Положительное число 4 в правой части даёт два значения, а не одно: x − 1 = 2 или x − 1 = −2. Получаем x = 3 либо x = −1. Ошибка только одного знака здесь приводит к потере половины ответов.

Как избежать неверной прибавки

Для x² + 5x + 6 = 0 нужно прибавить не 5 и не 25, а (5/2)² = 25/4. Так как справа после переноса стоит −6, получаем (x + 5/2)² = 25/4 − 6 = 1/4. Дальше x + 5/2 = ±1/2, то есть x = −2 или x = −3. Этот пример важен: метод работает не только с чётным коэффициентом при x.

При отрицательном числе справа квадрат не имеет действительных решений: например, x² + 2x + 7 = 0 приводит к (x + 1)² = −6. Нельзя брать действительный квадратный корень из −6 и нельзя просто отбросить отрицательный знак. Ответ «действительных корней нет» завершает решение в рамках школьной темы. Если нужен самоконтроль, подсчитайте D = 4 − 28 = −24: знак тот же.

Пусть ученик завершит работу устным объяснением, почему в номере 15 ответ содержит √3, а в номере 17 только один корень. Промежуточные контрольные точки нужны, чтобы ловить ошибки до вычисления корней: на первом шаге проверяется деление на a, на втором — половина коэффициента, на третьем — знак правой части, на четвёртом — правильная подстановка в исходное уравнение.

Число k после выделения квадрата имеет тот же знак, что и дискриминант исходного уравнения, потому что k = D/(4a²). Делитель 4a² положителен при a ≠ 0, поэтому два школьных способа дают согласованный вывод о числе действительных корней. Эту связь полезно обсудить после работы, но для решения основных упражнений достаточно преобразований с квадратом.

Полный ключ к маршруту 1–18

Ученику: сначала выполните задания; ответы ниже предназначены для сверки после работы. При печати можно выбрать только страницы с заданиями.

1. (x + 3)² = 4; x = −1, −5. Исходная запись: x² + 6x + 5 = 0
2. (x − 4)² = 9; x = 1, 7. Исходная запись: x² − 8x + 7 = 0
3. (x + 2)² = 0; x = −2 (двукратный). Исходная запись: x² + 4x + 4 = 0
4. (x − 5)² = 9; x = 2, 8. Исходная запись: x² − 10x + 16 = 0
5. (x + 1)² = 16; x = 3, −5. Исходная запись: x² + 2x − 15 = 0
6. (x − 1)² = 9; x = 4, −2. Исходная запись: x² − 2x − 8 = 0
7. (x + 6)² = 1; x = −5, −7. Исходная запись: x² + 12x + 35 = 0
8. (x − 3)² = −4; действительных корней нет. Исходная запись: x² − 6x + 13 = 0
9. После деления на 2: (x + 2)² = 1; x = −1, −3. Исходная запись: 2x² + 8x + 6 = 0
10. После деления на 3: (x − 1)² = 4; x = 3, −1. Исходная запись: 3x² − 6x − 9 = 0
11. (x + 5/2)² = 1/4; x = −2, −3. Исходная запись: x² + 5x + 6 = 0
12. (x − 3/2)² = 25/4; x = 4, −1. Исходная запись: x² − 3x − 4 = 0
13. После деления на 4: (x − 1)² = 1/4; x = 1/2, 3/2. Исходная запись: 4x² − 8x + 3 = 0
14. (x + 7)² = 4; x = −5, −9. Исходная запись: x² + 14x + 45 = 0
15. (x − 2)² = 3; x = 2 ± √3. Исходная запись: x² − 4x + 1 = 0
16. (x + 1/2)² = 9/4; x = 1, −2. Исходная запись: x² + x − 2 = 0
17. После деления на 5: (x + 1)² = 0; x = −1 (двукратный). Исходная запись: 5x² + 10x + 5 = 0
18. (x + 1)² = −6; действительных корней нет. Исходная запись: x² + 2x + 7 = 0

Разбор ошибок по контрольным точкам

Если в пункте 4 получилось (x − 5)² = −9, значит, число 25 перенесли со знаком минус ошибочно: x² − 10x = −16, затем прибавляют 25 к обеим частям, получая 9. Если в пункте 11 ученик записал (x + 5)², он не взял половину коэффициента 5. В пункте 13 необходимо сначала разделить все члены на 4, иначе корни будут неверными.

При проверке найдите сумму и произведение корней там, где они действительны. Для задания 15 сумма равна 4, а произведение равно 1, что подтверждает ответ 2 ± √3. В заданиях 8 и 18 отрицательная правая часть полного квадрата доказывает отсутствие действительных корней без вычисления дискриминанта. Попросите ученика пояснить эту связь своими словами.

Критерии: один балл за верное преобразование к квадрату, один — за корни и их количество: максимум 36. Результат 30–36 означает самостоятельное владение способом, 22–29 — отдельные ошибки, до 21 — повторите формулу (x ± a)² = x² ± 2ax + a². В работе на скорость можно ограничиться станциями 1 и 2, а финиш оставить на дом.