Парабола y=x² и её основные свойства — мини-тест с разбором для 9 класса

9 класс · 16 заданий · 25–30 минут. Мини-тест проверяет чтение графика y = x² без калькулятора. Для рисунка достаточно тетради в клетку и координатной сетки. Каждый ответ можно проверить вычислением квадрата, поэтому материал подходит для самостоятельного повторения и входной диагностики.

Стартовая диагностика: 4 вопроса

Не стройте график заново. Вспомните, как связаны абсцисса x и ордината y. Укажите не только число, но и одно короткое объяснение. Отметьте на полях задания, в которых сомневаетесь: к ним стоит вернуться после разбора.

1. Чему равна ордината точки параболы при x = −3?
2. Запишите координаты вершины графика y = x².
3. Принадлежит ли точка (−2; 4) графику? Обоснуйте.
4. Принадлежит ли точка (2; −4) графику?

Карточка «Прочитай параболу»

5. Вычислите значения y при x = −2, −1, 0, 1, 2 и заполните строку таблицы.
6. Назовите область определения y = x².
7. Назовите множество значений y = x².
8. Укажите ось симметрии параболы.
9. Сколько точек пересечения с осью Ox имеет график?

Проведите вертикальную ось через x = 0. Левая и правая части параболы зеркально отражают друг друга: если известна точка (4; 16), то известна и (−4; 16). Не путайте отражение относительно оси Oy с отражением относительно Ox: во втором случае ординаты меняли бы знак, а заданная функция осталась бы другой.

Уровень B: исследуем свойства

10. Найдите обе абсциссы точек с ординатой 25.
11. Сравните значения функции при x = −4 и x = 3; укажите большее.
12. На каком промежутке функция убывает?
13. На каком промежутке функция возрастает?

Для заданий 12 и 13 важен порядок движения по оси x. Если идти по графику слева направо, до вершины точки спускаются, а после неё поднимаются. Утверждение «при увеличении |x| растёт x²» верно, но это не то же самое, что «при увеличении самого x график всегда растёт».

Уровень C: проверяем понимание

14. Решите неравенство x² < 16 по графику.
15. Сколько решений имеет уравнение x² = −9 среди действительных чисел?
16. Точки A(−1; 1) и B(3; 9) лежат на параболе. Как изменится y при переходе от A к B?

Если в задании есть неравенство, мысленно проведите горизонтальную прямую соответствующей высоты. Знак «меньше» требует точки графика ниже этой линии, «больше» — выше. При строгом знаке концы найденного промежутка не включают, поскольку в них выполняется равенство.

Самопроверка до открытия ответов

Отметьте три обязательных факта: вершина находится в начале координат; отрицательная ордината невозможна; точкам с абсциссами x и −x соответствует одна и та же высота. Если хотя бы один факт нарушается в вашем эскизе, исправьте построение до сверки с ключом. Для объяснения свойства не требуется полное доказательство: достаточно показать, что x² = (−x)² и x² ≥ 0.

Ответы и пояснения для проверки

Сначала выполните работу самостоятельно. При печати только для ученика не включайте страницы с ключом. Ниже ответы в той же нумерации.

Ключ к диагностике

1. 9: (−3)² = 9, квадрат отрицательного числа положителен.
2. (0; 0). Вершина — самая нижняя точка.
3. Да, (−2)² = 4.
4. Нет, 2² = 4, а не −4.

Ключ к исследованию свойств

5. 4; 1; 0; 1; 4. Значения при противоположных x совпадают.
6. Все действительные числа: любое x можно возвести в квадрат.
7. y ≥ 0. Отрицательных ординат нет.
8. Прямая x = 0 — ось Oy.
9. Одна: (0; 0), так как x² = 0 только при x = 0.
10. x = −5 и x = 5.
11. 16 > 9: y(−4) больше на 7.
12. На (−∞; 0]; при движении к нулю слева значения уменьшаются.
13. На [0; +∞); справа от нуля значения растут.

Ключ к задачам повышенного уровня

14. −4 < x < 4: ниже горизонтали y = 16 лежит дуга между точками пересечения.
15. Ни одного: квадрат действительного числа не отрицателен.
16. Возрастёт на 8 (с 1 до 9), хотя на участке между ними график сначала опускается к вершине и затем поднимается.

Оценивание. За задания 1–13 ставьте по одному баллу; за 14–16 — по два (один за результат, один за объяснение). Всего 19 баллов. 16–19 — уверенное владение, 12–15 — повторить интервалы и симметрию, менее 12 — начать с таблицы значений и определения квадрата числа. Для домашнего самоконтроля повторно решите только ошибочные пункты, не переписывая правильные.

Частые ошибки: записать y = −9 при x = −3; назвать осью симметрии Ox; забыть, что уравнение x² = 25 имеет два действительных корня; сделать неверный вывод, что функция возрастает на всей прямой. Все четыре ошибки проверяются буквально двумя действиями: возвести x в квадрат и посмотреть на расположение точки относительно осей.