Рабочий лист: сдвиг параболы y=x² вдоль оси Ox — математика, 9 класс

9 класс · рабочий лист · 24 задания. Тема — исключительно горизонтальный перенос параболы y = x². Ученик должен различать знак в скобках и направление сдвига, находить вершину, строить простые таблицы значений. Время: 35–45 минут. Рабочий лист можно раздать парам: одна половина получает задания 1–12, другая — 13–24, затем учащиеся сверяют графики.

Два разобранных примера

Пример 1. График y = (x − 3)² получается переносом исходной параболы вправо на 3. Вершина (3; 0). Для построения возьмём x = 2, 3, 4: высоты 1, 0, 1. Точки (2; 1) и (4; 1) симметричны относительно x = 3.

Пример 2. Функция y = (x + 2)² переносит параболу влево на 2, хотя в скобках стоит «+». Её вершина (−2; 0), а при x = 0 получаем y = 4. Проверяйте направление по абсциссе вершины, а не по внешнему виду знака в записи.

Блок 1. От формулы к движению графика

1. Для функции y = (x + 4)² назовите направление и величину переноса, вершину и уравнение оси симметрии.
2. Для функции y = (x + 3)² назовите направление и величину переноса, вершину и уравнение оси симметрии.
3. Для функции y = (x + 1)² назовите направление и величину переноса, вершину и уравнение оси симметрии.
4. Для функции y = (x − 1)² назовите направление и величину переноса, вершину и уравнение оси симметрии.
5. Для функции y = (x − 2)² назовите направление и величину переноса, вершину и уравнение оси симметрии.
6. Для функции y = (x − 5)² назовите направление и величину переноса, вершину и уравнение оси симметрии.
7. Для функции y = (x − 6)² назовите направление и величину переноса, вершину и уравнение оси симметрии.
8. Для функции y = (x + 6)² назовите направление и величину переноса, вершину и уравнение оси симметрии.

В отличие от сдвига по оси Oy, здесь минимальное значение остаётся равным нулю. Это удобная проверка: если ваш рисунок имеет вершину выше или ниже оси Ox, значит, вы ошибочно добавили вертикальный перенос. Строго говоря, обе точки с одинаковым расстоянием до прямой x = h имеют одинаковые ординаты.

Блок 2. Таблица значений и проверка точек

9. По формуле y = (x − 3)² найдите y при x = 1. Укажите, выше вершины ли расположена точка.
10. По формуле y = (x − 3)² найдите y при x = 3. Укажите, выше вершины ли расположена точка.
11. По формуле y = (x + 2)² найдите y при x = 0. Укажите, выше вершины ли расположена точка.
12. По формуле y = (x + 2)² найдите y при x = -3. Укажите, выше вершины ли расположена точка.
13. По формуле y = (x − 4)² найдите y при x = 2. Укажите, выше вершины ли расположена точка.
14. По формуле y = (x − 4)² найдите y при x = 5. Укажите, выше вершины ли расположена точка.
15. По формуле y = (x + 5)² найдите y при x = -4. Укажите, выше вершины ли расположена точка.
16. По формуле y = (x + 5)² найдите y при x = -5. Укажите, выше вершины ли расположена точка.

Таблица справа и слева от вершины одинакова по высотам: 1, 0, 1. Можно быстро проверить вычисления, подставляя x = h ± 2: обе точки обязаны иметь y = 4. Попробуйте видеть перенос не только по формуле, но и по симметрии двух соседних точек.

Блок 3. Постройте формулу по условию

17. Запишите формулу параболы, полученной из y = x² горизонтальным переносом: вправо на 7. Укажите точку касания с осью Ox.
18. Запишите формулу параболы, полученной из y = x² горизонтальным переносом: влево на 4. Укажите точку касания с осью Ox.
19. Запишите формулу параболы, полученной из y = x² горизонтальным переносом: вправо на 1. Укажите точку касания с осью Ox.
20. Запишите формулу параболы, полученной из y = x² горизонтальным переносом: влево на 8. Укажите точку касания с осью Ox.
21. Запишите формулу параболы, полученной из y = x² горизонтальным переносом: с вершиной (−3; 0). Укажите точку касания с осью Ox.
22. Запишите формулу параболы, полученной из y = x² горизонтальным переносом: с вершиной (6; 0). Укажите точку касания с осью Ox.
23. Запишите формулу параболы, полученной из y = x² горизонтальным переносом: ось симметрии x = −7. Укажите точку касания с осью Ox.
24. Запишите формулу параболы, полученной из y = x² горизонтальным переносом: ось симметрии x = 2. Укажите точку касания с осью Ox.

Почему знак в скобках кажется обратным

Чтобы получился ноль внутри квадрата (x − h)², нужно взять x = h. Поэтому знак, стоящий при числе внутри скобок, и знак координаты вершины противоположны: x + 5 = 0 при x = −5; x − 5 = 0 при x = 5. Ошибка возникает, когда число из скобок механически переносят на координатную ось без решения простейшего уравнения.

Есть и второй способ убедиться в направлении сдвига: возьмите известную точку старого графика (0; 0). После переноса вправо на h её новая абсцисса станет h. После переноса влево на 3 новая вершина окажется в −3. Этот способ хорошо работает для школьников, которые пока неуверенно преобразуют выражения.

Точечная проверка перед сдачей

Для любого построенного графика отметьте три точки: (h; 0), (h − 1; 1), (h + 1; 1). Через них проходит та же гладкая U-образная кривая. Если вы нарисовали два пересечения с Ox или ветви вниз, рисунок не соответствует функции вида (x − h)². Количество таких пересечений всегда одно, поскольку квадрат неотрицателен и обращается в ноль лишь при x = h.

При выполнении задач блока 2 подпишите промежуточное действие: сначала разность x − h в скобках, затем её квадрат. Например, при x = −3 и h = −2 получится −3 − (−2) = −1, после возведения в квадрат 1. Это предупреждает двойную ошибку: спутать знак сдвига и забыть скобки при работе с отрицательными числами.

Ответы и пояснения для проверки

Сначала выполните работу самостоятельно. При печати только для ученика не включайте страницы с ключом. Ниже ответы в той же нумерации.

Блок 1: перенос и вершина

1. Влево на 4; вершина (-4; 0); ось x = -4.
2. Влево на 3; вершина (-3; 0); ось x = -3.
3. Влево на 1; вершина (-1; 0); ось x = -1.
4. Вправо на 1; вершина (1; 0); ось x = 1.
5. Вправо на 2; вершина (2; 0); ось x = 2.
6. Вправо на 5; вершина (5; 0); ось x = 5.
7. Вправо на 6; вершина (6; 0); ось x = 6.
8. Влево на 6; вершина (-6; 0); ось x = -6.

Блок 2: значения функции

9. y = (1 − (3))² = 4. Точка выше вершины на 4 ед.
10. y = (3 − (3))² = 0. Точка в вершине.
11. y = (0 − (-2))² = 4. Точка выше вершины на 4 ед.
12. y = (-3 − (-2))² = 1. Точка выше вершины на 1 ед.
13. y = (2 − (4))² = 4. Точка выше вершины на 4 ед.
14. y = (5 − (4))² = 1. Точка выше вершины на 1 ед.
15. y = (-4 − (-5))² = 1. Точка выше вершины на 1 ед.
16. y = (-5 − (-5))² = 0. Точка в вершине.

Блок 3: формула по переносу

17. y = (x − 7)²; единственная точка пересечения с Ox — (7; 0).
18. y = (x + 4)²; единственная точка пересечения с Ox — (-4; 0).
19. y = (x − 1)²; единственная точка пересечения с Ox — (1; 0).
20. y = (x + 8)²; единственная точка пересечения с Ox — (-8; 0).
21. y = (x + 3)²; единственная точка пересечения с Ox — (-3; 0).
22. y = (x − 6)²; единственная точка пересечения с Ox — (6; 0).
23. y = (x + 7)²; единственная точка пересечения с Ox — (-7; 0).
24. y = (x − 2)²; единственная точка пересечения с Ox — (2; 0).

Критерии. В 1–8 достаточно верно указать направление, величину, вершину и ось; в 9–16 важны верная подстановка и результат; в 17–24 — формула и нулевая точка. За пункт поставьте один балл только при верном полном ответе (максимум 24). Два характерных пробела требуют разных упражнений: неверное направление переноса — повторить примеры 1–2; неверные вычисления при отрицательном x — потренировать арифметику со скобками.

Полезный контроль в парах: первый ученик диктует уравнение, второй называет вершину и две точки около неё; затем первый вычисляет названные точки по формуле. Если данные не совпадают, проверьте, не перепутана ли запись (x − h)² с x² − h: это две различные функции, вторая относится к переносу по вертикали.