Разбор типичных ошибок: построение графика y=a(x-h)²+k — 9 класс

9 класс · диагностическая карточка · 14 заданий. Два независимых варианта для печати. Первый выявляет типичные ошибки при чтении формулы y = a(x − h)² + k; второй тренирует точное построение по трём опорным точкам. Ученикам можно дать один вариант, а второй оставить для повторной проверки. На задачи отводится 20–30 минут.

Краткая инструкция для работы

Из записи y = a(x − h)² + k сразу считываются вершина (h; k) и ось симметрии x = h. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Модуль a управляет «узостью» параболы по сравнению с y = x²: при |a| > 1 она уже, при 0 < |a| < 1 — шире. Для получения двух соседних точек берите x = h − 1 и x = h + 1: обе имеют ординату k + a.

Серия А. Найдите ошибку в объяснении (1–7)

1. Для y = (x − 4)² − 2 ученик записал: «Вершина (−4; −2)». Исправьте координаты и укажите причину.
2. Для y = −2(x + 1)² + 3 написано: «Ветви направлены вверх». Исправьте и объясните.
3. Для y = 3(x − 2)² записано: «Парабола втрое шире y = x²». Исправьте вывод.
4. Для y = (1/2)(x + 2)² − 1 написано: «Ось симметрии x = 2». Исправьте.
5. Для y = −(x − 1)² + 5 написано: «Наибольшее значение равно −5». Исправьте.
6. Для y = 2(x − 3)² + 1 вычислено y(4) = 9. Найдите верное значение.
7. Для y = −3(x + 2)² − 4 написано: «Парабола касается оси Ox в вершине». Почему это неверно?

Обратите внимание: в серии А достаточно исправить утверждение и привести одно обоснование. Длинные вычисления не нужны, поскольку ошибки связаны прежде всего с чтением записи функции. Если возник спор, найдите вершину, а затем подставьте в формулу две симметричные абсциссы на единицу левее и правее неё.

Серия Б. Постройте по вершине и двум точкам (8–14)

8. Постройте график y = (x − 2)² − 1: выпишите вершину, ось, направление ветвей и координаты точек с x = h − 1 и x = h + 1.
9. Постройте график y = −(x + 3)² + 4: выпишите вершину, ось, направление ветвей и координаты точек с x = h − 1 и x = h + 1.
10. Постройте график y = 2(x + 2)²: выпишите вершину, ось, направление ветвей и координаты точек с x = h − 1 и x = h + 1.
11. Постройте график y = -2(x − 1)² + 3: выпишите вершину, ось, направление ветвей и координаты точек с x = h − 1 и x = h + 1.
12. Постройте график y = 3x² − 2: выпишите вершину, ось, направление ветвей и координаты точек с x = h − 1 и x = h + 1.
13. Постройте график y = -3(x − 4)² + 1: выпишите вершину, ось, направление ветвей и координаты точек с x = h − 1 и x = h + 1.
14. Постройте график y = 1/2(x + 1)² + 2: выпишите вершину, ось, направление ветвей и координаты точек с x = h − 1 и x = h + 1.

Работа над ошибками перед сдачей

Проверьте, что вершина действительно получается при x = h: подставьте это значение в формулу — квадрат обращается в ноль, остаётся k. Если вместо k вы получили другое число, нарушен порядок действий или неправильно определён h. Для a < 0 вершина максимальная, и ни одна точка графика не может лежать выше неё; для a > 0 — минимальная, и ни одна точка не ниже неё.

Не используйте рисунок как единственное доказательство. Рисунок от руки может быть неточным, особенно для a = 1/2, когда кривая шире исходной. Надёжнее проверить координаты трёх опорных точек подстановкой; ось симметрии должна проходить ровно между двумя боковыми точками. Это быстрый контроль даже без миллиметровой бумаги.

Ответы и пояснения для проверки

Сначала выполните работу самостоятельно. При печати только для ученика не включайте страницы с ключом. Ниже ответы в той же нумерации.

Серия А — исправленные утверждения

1. Правильно (4; −2): из x − 4 = 0 следует x = 4, знак при h не копируют.
2. Ветви вниз, потому что a = −2 < 0; вершина (−1; 3).
3. При |a| = 3 > 1 парабола уже: при сдвиге на 1 от вершины изменение y равно 3, а не 1.
4. Ось x = −2; вершина (−2; −1).
5. Наибольшее значение 5, потому что квадрат ≥ 0, а перед ним минус; вершина (1; 5).
6. y(4) = 2·(4 − 3)² + 1 = 3; умножение на 2 относится только к квадрату.
7. Максимум −4 при x = −2; весь график ниже Ox и не касается её.

Серия Б — данные для построений

8. Вершина (2; -1); ось x = 2; ветви вверх; соседние точки (1; 0) и (3; 0).
9. Вершина (-3; 4); ось x = -3; ветви вниз; соседние точки (-4; 3) и (-2; 3).
10. Вершина (-2; 0); ось x = -2; ветви вверх; соседние точки (-3; 2) и (-1; 2).
11. Вершина (1; 3); ось x = 1; ветви вниз; соседние точки (0; 1) и (2; 1).
12. Вершина (0; -2); ось x = 0; ветви вверх; соседние точки (-1; 1) и (1; 1).
13. Вершина (4; 1); ось x = 4; ветви вниз; соседние точки (3; -2) и (5; -2).
14. Вершина (-1; 2); ось x = -1; ветви вверх; соседние точки (-2; 5/2) и (0; 5/2).

Оценка: в серии А по одному баллу за исправление и по одному за объяснение (14 баллов), в серии Б по два балла за верную вершину с осью и за пару опорных точек с направлением ветвей (14 баллов). Максимум — 28. Если ученик правильно нашёл вершину, но нарисовал ветви в неверном направлении, повторите только роль знака a.