Угол между касательной и хордой — мини-тест с разбором для 9 класса

9 класс · 15 заданий · 20–25 минут. У этой карточки одна цель — уверенно отличать угол касательной с хордой от центрального и вписанного углов. Для рисунка достаточно обозначить центр O, точку касания A и другую точку хорды B. Условие о меньшей дуге исключает неоднозначность выбора угла.

Как читать чертёж

Представьте окружность, точку A на ней и прямую, касающуюся окружности только в A. Хорда AB соединяет A с другой точкой окружности. Прямой угол между OA и касательной помогает доказать главное правило: угол между касательной и хордой, перехватывающий меньшую дугу AB, равен половине градусной меры этой дуги. Если центральный угол AOB меньше 180°, острый угол у A равен половине ∠AOB.

Быстрый мини-тест на понимание

1. Запишите правило для угла между лучом касательной и хордой, перехватывающего дугу 80°.
2. Почему угол между радиусом, проведённым в точку касания, и касательной равен 90°?
3. Верно ли, что две стороны угла «касательная — хорда» обязательно являются радиусами?
4. Если изменить направление луча на касательной на противоположное, какой угол получится вместо 35°?

Проверьте, что при решении вы обозначили, какой именно угол требуется: острый или его смежный. Если угол между прямой и хордой рисуется с другой стороны, правильным числом может оказаться не половина меньшей дуги, а её дополнение до 180°.

Карточка вычислений

5. Меньшая дуга, стянутая хордой, равна 60°. Найдите острый угол между касательной и этой хордой.
6. Меньшая дуга, стянутая хордой, равна 104°. Найдите острый угол между касательной и этой хордой.
7. Меньшая дуга, стянутая хордой, равна 146°. Найдите острый угол между касательной и этой хордой.
8. Меньшая дуга, стянутая хордой, равна 90°. Найдите острый угол между касательной и этой хордой.
9. Острый угол касательной с хордой равен 27°. Найдите меру меньшей дуги, стянутой этой хордой.
10. Острый угол касательной с хордой равен 43°. Найдите меру меньшей дуги, стянутой этой хордой.
11. Центральный угол AOB, соответствующий меньшей дуге AB, равен 124°. Найдите острый угол между касательной в A и хордой AB.
12. Острый угол касательной с хордой равен 64°. Чему равен угол с противоположным лучом касательной?

Работайте без транспортира: дуга и центральный угол над одной хордой численно равны по градусной мере. Для большинства пунктов достаточно деления или умножения на два. Укажите формулу рядом с вычислением, особенно когда ищете дугу по известному углу.

Три задачи на связь теорем

13. Вписанный угол ACB опирается на меньшую дугу AB и равен 38° (C лежит на большей дуге). Найдите острый угол между касательной в A и хордой AB.
14. Радиусы OA и OB образуют центральный угол 70°. Найдите оба смежных угла между касательной в A и хордой AB.
15. Докажите через равнобедренный треугольник AOB, что острый угол между касательной в A и хордой AB равен половине центрального угла ∠AOB, если 0° < ∠AOB < 180°.

В последней задаче не ссылайтесь на готовое правило — получите его из равенства радиусов, суммы углов треугольника и перпендикулярности радиуса касательной. Такой вывод показывает, почему теорема работает для любого допустимого центрального угла, а не только для удобных круглых значений.

Ключ и разбор для проверки

Отдельная часть для учителя и самостоятельного контроля. Сначала решите задания без подсказок. При распечатке ученикам можно не включать листы с ответами.

Понимание без вычислений

1. 40°. Угол касательной с хордой равен половине перехваченной дуги.
2. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной — свойство касательной.
3. Нет. Одна сторона лежит на касательной, другая — на хорде.
4. 145°, поскольку эти углы смежные: 180° − 35° = 145°.

Вычисления: градусная мера дуги и угол

5. 30°. Половина дуги: 60° : 2 = 30°.
6. 52°. Половина дуги: 104° : 2 = 52°.
7. 73°. Половина дуги: 146° : 2 = 73°.
8. 45°. Половина дуги: 90° : 2 = 45°.
9. 54°. Перехваченная меньшая дуга вдвое больше угла.
10. 86°. Перехваченная меньшая дуга вдвое больше угла.
11. 62°. Угол между касательной и хордой равен половине ∠AOB.
12. 116°. Смежный угол = 180° − 64°.

Применение и доказательство

13. 38°. Оба угла составляют половину градусной меры одной и той же меньшей дуги AB.
14. 35° и 145°. Первый равен половине меньшей дуги (70°), второй дополняет его до 180°.
15. Пусть ∠AOB = α. Так как OA = OB, ∠OAB = (180° − α)/2. Касательная в A перпендикулярна OA, поэтому острый угол с AB равен 90° − (180° − α)/2 = α/2.

Оценивание: задания 1–12 — по 1 баллу, 13–14 — по 2 балла, доказательство 15 — 3 балла; всего 19. Для самостоятельной проверки достаточно указать правильную дугу, отметить прямой угол OA с касательной и убедиться, что искомый острый угол не превышает 90°. Ошибки в выборе противоположного луча разберите отдельно от вычислительных.