Карточки для 10 класса: тригонометрическая окружность и четверти углов

Карточки для 10 класса · 14 вопросов. На единичной окружности точка, соответствующая углу α, имеет координаты (cos α; sin α). Ось Ox задаёт горизонтальное направление, Oy — вертикальное. Четверти нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхней правой.

Правило за одну минуту

Разобранные примеры

Пример 1. 200° лежит между 180° и 270°, значит III четверть, оба значения cos и sin отрицательны.

Пример 2. −20° + 360° = 340°. Это IV четверть: cos положителен, sin отрицателен.

Мини-тренажёр

1. Определите четверть угла 30°.
2. Определите четверть угла 140°.
3. Определите четверть угла 235°.
4. Определите четверть угла 310°.
5. Где находится конечная сторона угла 90°: в четверти или на оси?
6. Где находится конечная сторона угла 180°?
7. Где находится конечная сторона угла 270°?
8. Где находится конечная сторона угла 360°?

Углы после оборота

9. В какой четверти находится угол −45°?
10. В какой четверти находится угол −135°?
11. В какой четверти находится угол 405°?
12. В какой четверти находится угол 725°?

Проверка понимания знаков

13. В какой четверти sin α > 0, а cos α < 0?
14. В какой четверти sin α < 0, а cos α > 0?

Различайте поворот и положение точки

Четверть зависит не от того, сколько всего градусов отсчитано от начала, а от конечного положения точки. Углы 45°, 405° и 765° направлены одинаково: они различаются на один или два полных оборота. И отрицательное направление не создаёт «пятую четверть»: угол −45° заканчивается там же, где 315°. Такая идея помогает понимать тригонометрическую окружность без механической нумерации углов до бесконечности.

Знак косинуса определяется горизонтальной координатой точки: справа от оси Oy он положителен, слева — отрицателен. Синус связан с вертикальной координатой: выше оси Ox положителен, ниже — отрицателен. Поэтому во II четверти синус положителен при отрицательном косинусе, а в IV — наоборот. Это геометрическое основание таблицы знаков, а не правило, которое действует только для углов из упражнения.

Для границ действует отдельная проверка. При 90° точка (0; 1), значит, cos 90° = 0 и sin 90° = 1. При 180° точка (−1; 0), при 270° — (0; −1), а при 360° — (1; 0). Формулировка «не в четверти» нужна не ради придирки: координата действительно равна нулю, поэтому в таблице положительных и отрицательных знаков она не укладывается ни в один внутренний сектор.

Совет по самостоятельной работе

Нарисуйте крест координатных осей и подпишите I, II, III, IV. Сначала расставьте простые положительные углы, затем отдельно обработайте отрицательные и большие 360°. Если при проверке ученик ошибся только в заданиях 9–12, повторять таблицу знаков целиком не нужно: достаточно освоить приведение угла по модулю 360°. Если ошибся в 13–14, отработайте соответствие cos горизонтали, а sin вертикали.

Контрольный вопрос для обсуждения: у угла 540° конечная сторона совпадает с углом 180°, следовательно, находится на отрицательной полуоси Ox, а не в одной из четвертей. Если назвать для такого угла II или III четверть, это будет неверно. На координатных осях отдельные значения тригонометрических функций обращаются в ноль, и это нужно указывать точно.

Ответы и разбор для учителя и самопроверки

Эту часть можно не включать в ученическую распечатку. Проверяйте не только итоговое число, но и записанное обоснование; при ошибке сначала найдите неверный шаг, затем повторите аналогичное задание.

1. I четверть (0° < α < 90°).
2. II четверть.
3. III четверть.
4. IV четверть.
5. На положительной полуоси Oy; не принадлежит ни одной открытой четверти.
6. На отрицательной полуоси Ox.
7. На отрицательной полуоси Oy.
8. На положительной полуоси Ox, после полного оборота.
9. −45° + 360° = 315°; IV четверть.
10. −135° + 360° = 225°; III четверть.
11. 405° − 360° = 45°; I четверть.
12. 725° − 720° = 5°; I четверть.
13. II четверть — слева вверху.
14. IV четверть — справа внизу.

Если ученик назвал четверть для 90° или 180°, попросите поставить точку на оси координат: это принципиальная граница, а не соглашение об округлении. Для 405° и 725° сначала уберите полные обороты.