Практикум по математике: синус и косинус угла больше 360 градусов — 10 класс

Печатный практикум · 10 класс · 18 упражнений. Углы больше 360° описывают более одного оборота вокруг начала координат. Полный поворот возвращает точку на единичной окружности в то же место, поэтому не изменяет её синус и косинус.

Ситуация: стрелка делает несколько оборотов

Школьный робот поворачивается против часовой стрелки на 750°. Поскольку 750° = 2 · 360° + 30°, его конечное направление совпадает с направлением 30°. По такой же модели работают значения синуса и косинуса: sin(α + 360°n) = sin α и cos(α + 360°n) = cos α для целого n.

Серия А — индивидуальный рабочий лист

1. Найдите sin 390°.
2. Найдите cos 420°.
3. Найдите sin 450°.
4. Найдите cos 540°.
5. Найдите sin 585°.
6. Найдите cos 660°.
7. Найдите sin 720°.
8. Найдите cos 810°.
9. Найдите sin 930°.
10. Найдите cos 1110°.
11. Найдите sin 1020°.
12. Найдите cos 1170°.

Для каждого задания впишите в черновик три строки: «исходный угол», «после вычитания полных оборотов», «синус или косинус». В заданиях 7, 8 и 12 уделите внимание осям: значения могут быть 0, 1 или −1.

Серия Б — взаимопроверка в парах

13. Найдите sin 750°.
14. Найдите cos 765°.
15. Найдите sin 840°.
16. Найдите cos 945°.
17. Найдите sin 1260°.
18. Найдите cos 1410°.

Партнёр не должен только подтвердить число. Он называет остаточный угол и объясняет знак. Если у двух учеников получились разные ответы, сверяйте сначала число оборотов, потом соответствующее табличное значение.

Как переносить приём на новые углы

Для любого α > 360° разделите α на 360° с остатком. Например, 1410° = 3 · 360° + 330°: таким образом, достаточно узнать косинус 330°. Если угол задан с десятичными частями градуса, правило сохраняется, но табличное значение может оказаться неизвестным — тогда допустимо оставить sin или cos остаточного угла без десятичного приближения.

Зачем сокращать угол до одного оборота

Нельзя утверждать, что 750° = 30° как обычные числа: это разные величины углов поворота. Но конечные направления на единичной окружности совпадают, поэтому совпадают синусы и косинусы. Правильная запись: sin 750° = sin(750° − 720°) = sin 30° = 1/2. Так мы сохраняем точность математического утверждения и не подменяем равенство значений функций равенством исходных углов.

Способ с остатком удобен даже для больших чисел. Для 1410° полный оборот помещается трижды: 3 × 360° = 1080°, остаток 330°. Точка соответствует IV четверти; косинус положителен, поэтому cos 1410° = cos 330° = √3/2. Если забыть о четверти и взять табличное значение от опорного угла без проверки знака, легко получить неправильный ответ в задачах на синус 585° и 1020°.

Самостоятельный контроль по осевым углам

Некоторые углы после вычитания оборотов попадают точно на координатные оси. Например, 720° соответствует 0°, поэтому sin 720° = 0, cos 720° = 1. Угол 810° соответствует 90°: sin 810° = 1, cos 810° = 0. А 1260° соответствует 180°, так что sin 1260° = 0, cos 1260° = −1. Значения на осях полезно запомнить отдельно от таблицы острых углов.

Проверка ответа через геометрическую модель: изобразите оси и мысленно отметьте конечную точку поворота. Для 945° после двух оборотов остаётся 225°, то есть III четверть. Там косинус отрицателен; равенство cos 945° = −√2/2 выглядит разумно. Отрицательный знак здесь не связан с тем, что исходный угол большой: он возникает из положения конечной точки.

Короткий разговор после решения

Попросите ученика придумать три различных угла больше 360°, у которых синус равен 0. Подойдут 540°, 720° и 900°; каждый из них после исключения полных оборотов попадает на ось Ox. Затем предложите придумать два разных угла с косинусом 1/2, например 420° и 660°. Это показывает, что одинаковое значение функции можно получить при разных конечных направлениях, не только после целого числа оборотов.

Небольшой алгоритм для проверки в уме

Если вам дано 1110°, вычтите сначала 720° и получите 390°, затем ещё 360° и получите 30°. Вместо двух вычитаний можно сразу отнять 1080°. Оба способа приводят к одному конечному направлению. Для 1170° остаток 90°: здесь косинус равен нулю. Не пытайтесь искать значения sin или cos на калькуляторе в радианном режиме, когда условие дано в градусах: без переключения единиц результат окажется другим.

Проверяйте структуру ответа: исходный угол должен уменьшаться на целое число оборотов, а итоговый остаточный угол — быть меньше 360° и неотрицательным. После этого каждый ответ можно сопоставить с положением на окружности. Например, sin 930° = sin 210° отрицателен, так как точка в III четверти. Для cos 1410° знак положителен в IV четверти. Это хороший способ отличить ошибку со знаком от ошибки при сокращении угла.

При оценивании полезно отделять ошибки в приведении угла от ошибок в табличных значениях. Например, если ученик верно свёл 585° к 225°, но написал положительный синус, проблема не в периоде, а в знаке третьей четверти. Исправьте именно этот шаг и предложите похожий пример без изменения остальных данных.

Ответы и разбор для учителя и самопроверки

Эту часть можно не включать в ученическую распечатку. Проверяйте не только итоговое число, но и записанное обоснование; при ошибке сначала найдите неверный шаг, затем повторите аналогичное задание.

Серия А: решения 1–12

1. 390° − 360° = 30°; 1/2.
2. 420° − 360° = 60°; 1/2.
3. 450° − 360° = 90°; 1.
4. 540° − 360° = 180°; −1.
5. 585° − 360° = 225°; −√2/2.
6. 660° − 360° = 300°; 1/2.
7. 720° − 720° = 0°; 0.
8. 810° − 720° = 90°; 0.
9. 930° − 720° = 210°; −1/2.
10. 1110° − 1080° = 30°; √3/2.
11. 1020° − 720° = 300°; −√3/2.
12. 1170° − 1080° = 90°; 0.

Серия Б: решения 13–18

13. 750° − 720° = 30°; 1/2.
14. 765° − 720° = 45°; √2/2.
15. 840° − 720° = 120°; √3/2.
16. 945° − 720° = 225°; −√2/2.
17. 1260° − 1080° = 180°; 0.
18. 1410° − 1080° = 330°; √3/2.

Критерии работы: 1 балл за правильный остаточный угол и 1 балл за правильный результат с учётом знака в каждом задании. Всего 36 баллов. Для повторения выберите по одной ошибке каждого типа — лишний оборот, неверная четверть или неправильное табличное значение.