Поиск минимального и максимального числа с запретом соседних одинаковых цифр: тематические карточки для 5 класса
Навык. Находить наименьшее и наибольшее число заданной длины, когда одинаковые цифры не могут стоять рядом.
Здесь разрешено повторять цифру через одну или несколько позиций: например, 202 допустимо, а 220 — нет. Используются только цифры, указанные в строке задания. Первая цифра не может быть нулём. Уточнения «ровно два», «кратно 5», «чётное» обязательны одновременно с основным запретом.
Содержание статьи5 разделов
Как читать таблицу ограничений
| Число | Есть соседние равные? | Допустимо? | Объяснение |
|---|---|---|---|
| 202 | нет | да | Повторяется 2, но не рядом. |
| 220 | да | нет | Первые две цифры одинаковы. |
| 5050 | нет | да | Нули и пятёрки чередуются; ноль не первый. |
| 0550 | да | нет | Нулём нельзя начинать запись числа; две пятёрки стоят рядом. |
Алгоритм: для минимума выбирай слева направо самую маленькую разрешённую цифру, не совпадающую с предыдущей. Для максимума — самую большую. Однако дополнительные условия на сумму, количество цифр или последнюю цифру могут сделать жадный первый шаг неверным: после каждого выбора проверяй, возможно ли закончить число.
Карточки 1–8: два крайних числа
Для каждого пункта запиши минимальное и максимальное подходящее число. Все ограничения помещены в таблицу; условие про разные соседние цифры действует в каждой строке.
| № | Ограничение | Минимум | Максимум |
|---|---|---|---|
| 1 | Трёхзначное, цифры 0, 2, 5 | ________ | ________ |
| 2 | Четырёхзначное, цифры 1, 3, 7 | ________ | ________ |
| 3 | Пятизначное, цифры 0, 4, 9 | ________ | ________ |
| 4 | Трёхзначное, цифры 2, 6, 8 | ________ | ________ |
| 5 | Четырёхзначное, цифры 0, 1, 8 | ________ | ________ |
| 6 | Четырёхзначное чётное, цифры 0, 2, 7 | ________ | ________ |
| 7 | Четырёхзначное с чётной последней цифрой, цифры 1, 4, 6 | ________ | ________ |
| 8 | Пятизначное, кратное 5, цифры 0, 2, 5 | ________ | ________ |
Карточки 9–16: проверка ловушек
Здесь появляется ещё одно условие: определённая первая или последняя цифра, точное число повторений, сумма цифр. Не записывай ответ, пока не проверишь его по всем пунктам условия.
| № | Условие | Минимум | Максимум |
|---|---|---|---|
| 9 | Четырёхзначное, первая цифра 5, цифры 0, 3, 5 | ________ | ________ |
| 10 | Пятизначное с цифрой 8 хотя бы один раз, цифры 1, 3, 8 | ________ | ________ |
| 11 | Четырёхзначное ровно с двумя цифрами 9, цифры 0, 1, 9 | ________ | ________ |
| 12 | Пятизначное ровно с двумя нулями, цифры 0, 2, 4 | ________ | ________ |
| 13 | Четырёхзначное с суммой цифр 9, цифры 0, 3, 6 | ________ | ________ |
| 14 | Пятизначное ровно с одной цифрой 7, цифры 1, 2, 7 | ________ | ________ |
| 15 | Четырёхзначное с последней цифрой 0, цифры 0, 4, 7 | ________ | ________ |
| 16 | Пятизначное с первой цифрой 6, цифры 0, 5, 6 | ________ | ________ |
Разбор решений и контрольные противоречия
№ 1. Минимум — 202, максимум — 525. В минимуме сначала берём 2 (не ноль), затем 0, затем 2. В максимуме чередуем 5 и следующую по величине подходящую цифру. Оба ответа удовлетворяют условиям; любой меньший (соответственно больший) кандидат нарушит старший разрешённый разряд либо отдельное ограничение.
№ 6. Минимум — 2020, максимум — 7272. Последняя цифра должна быть чётной: это 0 или 2; кроме того, две соседние цифры не совпадают. Сравнение ведём слева направо. Оба ответа удовлетворяют условиям; любой меньший (соответственно больший) кандидат нарушит старший разрешённый разряд либо отдельное ограничение.
№ 11. Минимум — 1909, максимум — 9191. Две девятки нельзя ставить вплотную. Прежде чем выбрать малую ведущую цифру, оставь для девяток две несоседние позиции. Оба ответа удовлетворяют условиям; любой меньший (соответственно больший) кандидат нарушит старший разрешённый разряд либо отдельное ограничение.
№ 13. Минимум — 3060, максимум — 6030. Необходимо одновременно получить сумму цифр 9 и сохранить разные соседние разряды. Подбор только по сумме не годится. Оба ответа удовлетворяют условиям; любой меньший (соответственно больший) кандидат нарушит старший разрешённый разряд либо отдельное ограничение.
№ 15. Минимум — 4040, максимум — 7470. В конце обязателен ноль. Поэтому предпоследняя цифра должна отличаться от нуля, даже если это мешает локально увеличить число. Оба ответа удовлетворяют условиям; любой меньший (соответственно больший) кандидат нарушит старший разрешённый разряд либо отдельное ограничение.
Поймай неверное рассуждение. «Максимальное число всегда состоит только из самой большой разрешённой цифры». Это невозможно: две одинаковые цифры рядом запрещены. Другое неверное рассуждение: «Ноль — самая маленькая цифра, значит, число можно начать с нуля». Такая запись не является числом требуемой длины.
Ключ и самопроверка
| № | Минимальное | Максимальное | Число допустимых вариантов |
|---|---|---|---|
| 1 | 202 | 525 | 8 |
| 2 | 1313 | 7373 | 24 |
| 3 | 40404 | 94949 | 32 |
| 4 | 262 | 868 | 12 |
| 5 | 1010 | 8181 | 16 |
| 6 | 2020 | 7272 | 11 |
| 7 | 1414 | 6464 | 16 |
| 8 | 20205 | 52525 | 21 |
| 9 | 5030 | 5353 | 8 |
| 10 | 13138 | 83838 | 46 |
| 11 | 1909 | 9191 | 8 |
| 12 | 20202 | 42040 | 16 |
| 13 | 3060 | 6030 | 2 |
| 14 | 12127 | 72121 | 16 |
| 15 | 4040 | 7470 | 6 |
| 16 | 60505 | 65656 | 16 |
Для самопроверки считай количество цифр, проверяй все соседние пары и дополнительные требования. Число вариантов в последней колонке позволяет проверить, что ты не потерял решения при систематическом переборе. Для доказательства крайности удобно составлять числа по возрастанию слева направо, сразу отбрасывая невозможные продолжения.
Объяснение крайних случаев: минимальную запись начинай с наименьшей ненулевой цифры, которую можно продолжить до нужной длины. После неё сравни следующую разрешённую цифру с предыдущей. Если есть условие о двух нулях или двух девятках, сначала размести их в непоследовательных позициях и лишь затем выбирай остальные разряды. Для максимума используй то же правило в обратном порядке. Если крайний кандидат по отдельному условию не подходит, переходи к следующему, а не меняй число его цифр.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.