Поиск минимального и максимального числа по неравенствам между соседними разрядами: диагностика ошибок, 5 класс
Цель. Не путать сравнение соседних цифр с сравнением всего числа; подтверждать минимум и максимум обратной проверкой.
Буквы a, b, c, d, e обозначают разряды слева направо. Неравенство a < b > c означает одновременно a < b и b > c. Сравниваем цифры, а не числа a и bc. Первая цифра не равна нулю. Если не сказано «все разные», одинаковые несоседние цифры допустимы, но строгие знаки < и > равенство соседей запрещают.
Содержание статьи7 разделов
Базовый пример с обратным ходом
Пусть требуется трёхзначное число из цифр 0, 2, 5 с условием a < b > c (повторение возможно). Чтобы получить минимум, пробуем a = 2, затем ищем b больше 2: b = 5; младший разряд c = 0. Получаем 250. Чтобы получить максимум, берём a = 2 (a не может быть 5, так как справа нужна цифра больше), b = 5, c = 2: 252. Обратная проверка: 2 < 5, 5 > 0 и 5 > 2. Нельзя принять 550: знак 5 < 5 неверен.
Изменённое условие: первая цифра фиксирована
Если добавить a = 5 к предыдущему примеру, решений не будет: разрешённые цифры не содержат цифры больше 5 для b. Это не «трудный подбор», а противоречие условий. В задании важно уметь сообщить, что решения нет, а не угадывать ответ.
Самостоятельная серия: 14 условий
В каждой задаче найди оба крайних числа. Пиши отдельно цепочку сравнений цифр для найденных ответов. Цифры можно брать только из указанного набора.
| № | Условие записи | Дополнительные требования | Мин. / Макс. |
|---|---|---|---|
| 1 | a < b > c | Трёхзначное, цифры 0, 2, 5, 8; цифры попарно различны. | ________ / ________ |
| 2 | a > b < c < d | Четырёхзначное, цифры 1, 3, 6, 9; повторение разрешено. | ________ / ________ |
| 3 | a < b < c > d | Четырёхзначное, цифры 0, 2, 4, 7. | ________ / ________ |
| 4 | a > b > c < d | Четырёхзначное, цифры 0, 2, 5, 9. | ________ / ________ |
| 5 | a < b > c < d > e | Пятизначное, цифры 0, 1, 4, 8. | ________ / ________ |
| 6 | a < b > c > d | Четырёхзначное, цифры 0, 2, 5, 7, 9; все цифры разные. | ________ / ________ |
| 7 | a > b < c > d < e | Пятизначное, цифры 0, 3, 6, 8. | ________ / ________ |
| 8 | a < b < c < d | Четырёхзначное, цифры 0, 1, 3, 6. | ________ / ________ |
| 9 | a > b > c < d < e | Пятизначное, цифры 0, 2, 4, 6, 9. | ________ / ________ |
| 10 | a > b < c > d | Четырёхзначное, цифры 0, 2, 6, 8; ровно один ноль. | ________ / ________ |
| 11 | a < b > c < d > e | Пятизначное, цифры 0, 2, 4, 7; первая цифра 4. | ________ / ________ |
| 12 | a < b > c < d | Четырёхзначное, цифры 0, 1, 3, 6; последняя цифра 6. | ________ / ________ |
| 13 | a > b > c > d | Четырёхзначное, цифры 1, 3, 5, 8. | ________ / ________ |
| 14 | a < b < c > d > e | Пятизначное, цифры 0, 2, 4, 7, 9; ровно две цифры 2. | ________ / ________ |
Диагностика: где ошибся автор решения?
Ошибка 1. Для № 1 предложено 258 как минимум. Найди нарушение, затем сравни с объяснением в ключе.
Ошибка 2. Для № 2 предложено 9331 как максимум. Найди нарушение, затем сравни с объяснением в ключе.
Ошибка 3. Для № 8 предложено 0136 как минимум. Найди нарушение, затем сравни с объяснением в ключе.
Ошибка 4. Для № 12 предложено 1369 как максимум. Найди нарушение, затем сравни с объяснением в ключе.
Ответы с обратной проверкой
| № | Минимум | Максимум | Проверка существования |
|---|---|---|---|
| 1 | 250 | 582 | Есть 5 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 2 | 3136 | 9369 | Есть 11 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 3 | 2470 | 2474 | Есть 3 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 4 | 5202 | 9529 | Есть 11 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 5 | 14010 | 48484 | Есть 39 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 6 | 2750 | 7952 | Есть 11 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 7 | 30303 | 86868 | Есть 70 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 8 | 1368 | 1368 | Есть 1 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 9 | 42024 | 96469 | Есть 46 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 10 | 2062 | 8680 | Есть 14 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 11 | 47020 | 47474 | Есть 14 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 12 | 1306 | 3636 | Есть 8 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 13 | 8531 | 8531 | Есть 1 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
| 14 | 24720 | 27972 | Есть 8 допустимых чисел; знаки и ограничения выполнимы. |
Разбор четырёх ошибочных выводов
1. 2 < 5, но 5 > 8 — ложь; число не подходит. Исправленный минимум: 250.
2. 3 < 3 — ложь в последних двух разрядах; неверно прочитана цепочка. Исправленный максимум: 9369.
3. Запись начинается с нуля и не является четырёхзначным числом. Исправленный минимум: 1368.
4. 9 отсутствует в разрешённом наборе; нужно проверять не только знаки. Исправленный максимум: 3636.
Почему ответ крайний? Числа одинаковой длины сравниваются с самого левого разряда. Чтобы доказать минимум, проверяй меньшую возможную первую цифру; если она невозможна из-за цепочки, переходи к следующей. При одинаковом первом разряде повторяй проверку для второго и далее. Для максимума рассуждай в обратном порядке. Так выполняется не только проверка условий, но и доказательство экстремальности.
Обратная проверка каждой цепочки
№ 1. У минимума 250 получаем 2<5>0; у максимума 582 получаем 5<8>2. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр, отсутствие повторений.
№ 2. У минимума 3136 получаем 3>1<3<6; у максимума 9369 получаем 9>3<6<9. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр.
№ 3. У минимума 2470 получаем 2<4<7>0; у максимума 2474 получаем 2<4<7>4. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр.
№ 4. У минимума 5202 получаем 5>2>0<2; у максимума 9529 получаем 9>5>2<9. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр.
№ 5. У минимума 14010 получаем 1<4>0<1>0; у максимума 48484 получаем 4<8>4<8>4. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр.
№ 6. У минимума 2750 получаем 2<7>5>0; у максимума 7952 получаем 7<9>5>2. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр, отсутствие повторений.
№ 7. У минимума 30303 получаем 3>0<3>0<3; у максимума 86868 получаем 8>6<8>6<8. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр.
№ 8. У минимума 1368 получаем 1<3<6<8; у максимума 1368 получаем 1<3<6<8. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр.
№ 9. У минимума 42024 получаем 4>2>0<2<4; у максимума 96469 получаем 9>6>4<6<9. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр.
№ 10. У минимума 2062 получаем 2>0<6>2; у максимума 8680 получаем 8>6<8>0. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр, и специальное ограничение.
№ 11. У минимума 47020 получаем 4<7>0<2>0; у максимума 47474 получаем 4<7>4<7>4. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр, и специальное ограничение.
№ 12. У минимума 1306 получаем 1<3>0<6; у максимума 3636 получаем 3<6>3<6. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр, и специальное ограничение.
№ 13. У минимума 8531 получаем 8>5>3>1; у максимума 8531 получаем 8>5>3>1. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр.
№ 14. У минимума 24720 получаем 2<4<7>2>0; у максимума 27972 получаем 2<7<9>7>2. Все соседние сравнения истинны. Дополнительно проверь набор цифр, и специальное ограничение.
Устное заключение для учителя: попросите ученика сначала назвать первый разряд, который определяет выбор между двумя претендентами, и лишь затем проверять соседние неравенства. Это помогает отличить ошибку сравнения от ошибки выбора цифры. При отсутствии решения нужно не продолжать подбор, а предъявить короткое противоречие между разрешёнными цифрами, фиксированным разрядом и строгим знаком.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.