Расстановка скобок в числовом выражении с кратным результатом — проверочная работа по математике, 5 класс

Исследование. Меняя только группировку чисел в выражении, получить целое значение, делящееся на указанное число без остатка.

Задача-наблюдение: влияет ли выбор скобок на кратность?

Сравни два вычисления с одними и теми же числами и действиями: 5 + 3 × 2 = 11 и (5 + 3) × 2 = 16. Только второе значение кратно 4, потому что 16 : 4 = 4 без остатка. Значит, расстановка скобок может изменить не только результат, но и его делимость.

Предположи правило своими словами: чтобы получить число, кратное k, нужно найти такую группировку, результат которой имеет вид k × n при целом n. Это ещё не означает, что любые скобки сохраняют кратность. Сначала проверяй допустимость всех действий, особенно деление.

Проверка правила на контрпримере

Неверная гипотеза: «Если в выражении есть число, кратное 4, результат при любых скобках тоже кратен 4». Контрпример: 8 + 3 × 2 = 14 не кратно 4, хотя 8 кратно 4. Скобки (8 + 3) × 2 = 22 также не делают результат кратным 4. Следовательно, нужно проверять всё выражение, а не отдельный его член.

Самостоятельные исследования: 12 числовых опытов

Расставь скобки так, чтобы итог был положительным целым числом и делился на k. Разрешено использовать обычный порядок действий, но не разрешено переставлять числа, изменять действия или добавлять новые числа. Запиши частное от деления результата на k.

Объясни ход решения

1. Почему скобки вокруг двух первых чисел иногда создают удобный множитель?
2. Можно ли объявить число кратным 9, если его последняя цифра равна 9? Приведи пример, опровергающий утверждение.
3. Что нужно проверить в задаче с делением, прежде чем говорить о кратности результата?
4. Найди два примера из таблицы, в которых обычный порядок действий не даёт нужную кратность, а предложенные тобой скобки дают.

Решения и проверка на делимость

Что показывают ответы

В № 1 (13 + 5) × (4 − 2) = 18 × 2 = 36, а 36 кратно 9. При обычном порядке действий 13 + 5 × 4 − 2 = 31, которое не кратно 9. В № 4 две группы образуют множители 16 и 3, поэтому 48 делится на 12. В № 10 (27 − 9) : 3 + 5 = 6 + 5 = 11, а 11 : 11 = 1; здесь полезно проверить, что сначала выполняется вычитание внутри скобок.

Математический протокол каждого опыта

Опыт 1. Без новых скобок получается 31, это не кратно 9. После группировки (13 + 5) × (4 − 2) получается 36. Частное 36 : 9 = 4 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 2. Без новых скобок получается 22, это не кратно 7. После группировки (28 : 7 + 3) × 6 получается 42. Частное 42 : 7 = 6 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 3. Без новых скобок получается 24, это не кратно 10. После группировки (17 − 5 + 3) × 4 получается 60. Частное 60 : 10 = 6 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 4. Без новых скобок получается 9, это не кратно 12. После группировки (24 − 8) × (2 + 1) получается 48. Частное 48 : 12 = 4 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 5. Без новых скобок получается 39, это не кратно 4. После группировки (12 + 6) × (5 − 3) получается 36. Частное 36 : 4 = 9 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 6. Без новых скобок получается 22, это не кратно 5. После группировки (40 : 5 + 7) × 2 получается 30. Частное 30 : 5 = 6 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 7. Без новых скобок результат равен 27, он тоже кратен 3. После группировки (23 − 8 + 4) × 3 получается 57. Частное 57 : 3 = 19 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 8. Без новых скобок получается 13, это не кратно 7. После группировки (35 : 7 + 2) × 4 получается 28. Частное 28 : 7 = 4 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 9. Без новых скобок получается 24, это не кратно 10. После группировки (18 + 2) × (5 − 4) получается 20. Частное 20 : 10 = 2 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 10. Без новых скобок получается 29, это не кратно 11. После группировки (27 − 9) : 3 + 5 получается 11. Частное 11 : 11 = 1 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 11. Без новых скобок получается 22, это не кратно 9. После группировки (16 + 8) : 4 × 3 получается 18. Частное 18 : 9 = 2 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Опыт 12. Без новых скобок получается 31, это не кратно 9. После группировки (49 : 7 + 8) × 3 получается 45. Частное 45 : 9 = 5 — целое число, остаток нулевой. Важно, что все исходные числа и действия сохранены на своих местах.

Проверка объяснений: во втором опыте скобки нужны, чтобы сначала сложить результат деления 28 : 7 с тройкой, а затем умножить эту сумму на шесть. В четвёртом опыте множители 16 и 3 создаются только после двух вычитаний и сложений внутри скобок. В десятом опыте сначала вычисляется разность 27 − 9, после чего деление на 3 получается без остатка. Это разные способы добиться делимости; единой хитрости на все примеры нет.

При самостоятельной работе полезно сначала вычислить выражение без дополнительных скобок и проверить делимость на k. Если результат не подходит, ищи группу, которая даст число, удобное для умножения или точного деления. Отмечай в черновике проверенные группировки, чтобы не перебирать одну и ту же дважды. Когда дробное значение возникает в промежуточном вычислении, не называй его целым; условие требует положительный целый итог.

Вывод. Кратность определяется готовым числовым результатом, а не «наличием нужной цифры» или одним удобным слагаемым. В задачах на скобки правильность состоит из трёх проверок: исходный порядок чисел и знаков сохранён; вычисления точны; деление на k имеет целое частное и нулевой остаток.