Проверка равенства дробных записей при ограничении на знаменатель — тематические карточки для 5 класса

Учебная цель. Доказывать равенство дробей при явном ограничении на знаменатель, а не перечислять дроби наугад.

Подозрительное утверждение: «Если дроби равны, у них одинаковые знаменатели». Это неверно: 2/5 = 4/10 = 6/15. Другая крайность тоже ошибочна: не каждую дробь можно записать со знаменателем, который меньше исходного, если числитель и знаменатель — положительные целые числа.

Почему ограничение на знаменатель можно проверить точно

Пусть несократимая дробь имеет вид p/q. Равная ей дробь a/b удовлетворяет равенству a·q = b·p. Так как p и q взаимно просты, число b обязательно делится на q. Значит, все равные дробные записи с положительными целыми числителем и знаменателем имеют вид (p·k)/(q·k), где k — натуральное число. Эта мысль позволяет доказать полноту списка, а не только проверить отдельные примеры.

Если допустимо b ≤ B, то k ≤ B/q. Например, для 3/8 при знаменателе не больше 27 допустимы только k = 1, 2 и 3: получаем 3/8, 6/16 и 9/24. Величина 12/32 уже не подходит, хотя это равная дробь: её знаменатель превышает границу.

Разберите три особых случая

1. Исходная дробь уже несократима. Тогда меньший положительный знаменатель равной записи невозможен; это следует из делимости b на q.
2. В условии есть нижняя и верхняя граница. Например, 10 ≤ b ≤ 25 для 3/8 даёт 6/16 и 9/24, но исключает 3/8.
3. Верхняя граница меньше q. Тогда решений среди натуральных числителей и знаменателей нет. Это не означает, что сама дробь неверна: просто выбранное ограничение слишком строго.

Самостоятельные задачи с обоснованием

Во всех пунктах найдите все дробные записи, равные указанной дроби. Знаменатель должен быть положительным целым числом в заданных границах. В тетради рядом с ответом запишите, какие значения множителя k вы проверили.

Обоснования и ключ ответов

№ 1. Ответ: 2/5, 4/10, 6/15. Возможны множители k = 1, 2, 3: каждый знаменатель равен 5·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 2. Ответ: 3/7, 6/14, 9/21. Возможны множители k = 1, 2, 3: каждый знаменатель равен 7·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 3. Ответ: 4/9, 8/18. Возможны множители k = 1, 2: каждый знаменатель равен 9·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 4. Ответ: 10/12, 15/18, 20/24, 25/30. Возможны множители k = 2, 3, 4, 5: каждый знаменатель равен 6·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 5. Ответ: 7/11, 14/22. Возможны множители k = 1, 2: каждый знаменатель равен 11·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 6. Ответ: 6/16, 9/24, 12/32, 15/40. Возможны множители k = 2, 3, 4, 5: каждый знаменатель равен 8·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 7. Ответ: 5/12, 10/24, 15/36, 20/48. Возможны множители k = 1, 2, 3, 4: каждый знаменатель равен 12·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 8. Ответ: 8/14, 12/21, 16/28. Возможны множители k = 2, 3, 4: каждый знаменатель равен 7·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 9. Ответ: 7/10, 14/20, 21/30. Возможны множители k = 1, 2, 3: каждый знаменатель равен 10·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 10. Ответ: 9/13, 18/26, 27/39. Возможны множители k = 1, 2, 3: каждый знаменатель равен 13·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 11. Ответ: 5/14, 10/28. Возможны множители k = 1, 2: каждый знаменатель равен 14·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 12. Ответ: 22/30, 33/45. Возможны множители k = 2, 3: каждый знаменатель равен 15·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 13. Ответ: 3/11. Возможны множители k = 1: каждый знаменатель равен 11·k и лежит в разрешённых границах. Других множителей не бывает, потому что соседние целые значения выходят за границу.

№ 14. Ответ: нет ни одной записи. Минимальный возможный знаменатель равной записи равен 9, а предел — 8. Следовательно, положительного k не существует.

Проверьте ошибки в трёх рассуждениях

1. «Для 4/9 при b ≤ 20 годятся 8/18 и 12/27». Вторая дробь действительно равна первой, но знаменатель 27 превышает ограничение: её надо исключить.
2. «Для 5/6 при 7 ≤ b ≤ 32 подходит сама запись 5/6». Знаменатель 6 меньше нижней границы: верны только кратные записи с k от 2 до 5.
3. «Для 7/9 при b ≤ 8 можно подобрать запись с числителем 6». Это невозможно: знаменатель несократимой равной записи должен быть кратен 9.

Почему нельзя просто сократить до нужного знаменателя

При сокращении дроби числитель и знаменатель должны делиться на одно и то же натуральное число. Например, если из 7/11 попытаться получить дробь со знаменателем 8, деление 11 на выбранный множитель не даст целого числа: такой записи с натуральными членами не существует. Умножение, наоборот, позволяет получить знаменатели 22, 33 и так далее. Поэтому список решений удобно строить не по знаменателям подряд, а по кратным знаменателю несократимой дроби.

Иногда два учащихся записали разные ответы и оба правы. Если условие просит одну равную дробь, хватит одного допустимого примера. Здесь же требуется все записи: неполный перечень — ошибка, даже когда каждая указанная дробь правильная. Приведение к общему знаменателю также полезно при обратной проверке: если обе дроби сокращаются к одному несократимому виду, их значения равны, но всё равно надо проверить границы.

Критерий полного решения: ученик доказал, почему знаменатель кратен знаменателю несократимой дроби; перечислил допустимые k; проверил обе границы; не включил запрещённые дроби. Это важнее количества записанных вариантов.