Проверка равенства дробных записей при заданной сумме числителя и знаменателя — проверочная работа по математике, 5 класс

Учебная цель. Проверять, может ли равная дробь иметь заданную сумму числителя и знаменателя, и доказывать невозможность без перебора.

Лёгкий старт — разбираем один случай

Требуется записать дробь, равную 3/4, так, чтобы сумма числителя и знаменателя была 35. Если искомая дробь равна (3·k)/(4·k), то 3k + 4k = 35, или 7k = 35. Значит, k = 5, а ответ — 15/20. Проверяем обе части условия: 15·4 = 20·3 и 15 + 20 = 35.

Если сумма не делится без остатка на p + q, а p/q — несократимая дробь, натуральных числителя и знаменателя с нужной суммой не существует. Например, для 2/7 при сумме 19 пришлось бы получить k = 19/9, что не является целым числом. Значит, искать пары далее бессмысленно.

Маршрут 1. Подберите дробь или докажите невозможность

По каждому заданию выясните, существует ли пара положительных целых чисел a и b, для которой a/b равно указанной дроби и a + b равно заданной сумме. Если существует, найдите единственную пару. Если нет — запишите аргумент о делимости.

Развилка «ошибка или верно»

В пунктах 8–12 проверяйте сразу два требования: и равенство дробей, и сумму. Даже верная сумма не гарантирует правильную дробь.

• № 8. Для 5/6 при сумме 55 получается 25/30. Верно или ошибка? Обоснуйте.
• № 9. Для 4/9 при сумме 26 решения нет. Верно или ошибка? Обоснуйте.
• № 10. Для 7/10 при сумме 40 можно взять 14/26. Верно или ошибка? Обоснуйте.
• № 11. Для 3/7 при сумме 50 получается 15/35. Верно или ошибка? Обоснуйте.
• № 12. Для 5/12 при сумме 68 получается 20/48. Верно или ошибка? Обоснуйте.

Маршрут 3. Самостоятельное продолжение

Решите № 13–18 самостоятельно. Для тех случаев, где решения нет, вместо прочерка напишите, на какое число не делится сумма.

Ключ: решение каждого пункта

№ 1. 2+3=5; 20:5=4. Берём числитель 2·4=8 и знаменатель 3·4=12. Ответ: 8/12; проверка: 8+12=20, 8·3=12·2=24.

№ 2. 25 не делится на 8 без остатка: натурального k нет, ответ: не существует.

№ 3. 4+7=11; 33:11=3. Берём числитель 4·3=12 и знаменатель 7·3=21. Ответ: 12/21; проверка: 12+21=33, 12·7=21·4=84.

№ 4. 35 не делится на 13 без остатка: натурального k нет, ответ: не существует.

№ 5. 7+9=16; 48:16=3. Берём числитель 7·3=21 и знаменатель 9·3=27. Ответ: 21/27; проверка: 21+27=48, 21·9=27·7=189.

№ 6. 2+9=11; 22:11=2. Берём числитель 2·2=4 и знаменатель 9·2=18. Ответ: 4/18; проверка: 4+18=22, 4·9=18·2=36.

№ 7. 31 не делится на 11 без остатка: натурального k нет, ответ: не существует.

№ 8. 5+6=11; 55:11=5. Берём числитель 5·5=25 и знаменатель 6·5=30. Ответ: 25/30; проверка: 25+30=55, 25·6=30·5=150.

№ 9. 4+9=13; 26:13=2. Берём числитель 4·2=8 и знаменатель 9·2=18. Ответ: 8/18; проверка: 8+18=26, 8·9=18·4=72.

№ 10. 40 не делится на 17 без остатка: натурального k нет, ответ: не существует.

№ 11. 3+7=10; 50:10=5. Берём числитель 3·5=15 и знаменатель 7·5=35. Ответ: 15/35; проверка: 15+35=50, 15·7=35·3=105.

№ 12. 5+12=17; 68:17=4. Берём числитель 5·4=20 и знаменатель 12·4=48. Ответ: 20/48; проверка: 20+48=68, 20·12=48·5=240.

№ 13. 37 не делится на 18 без остатка: натурального k нет, ответ: не существует.

№ 14. 4+11=15; 45:15=3. Берём числитель 4·3=12 и знаменатель 11·3=33. Ответ: 12/33; проверка: 12+33=45, 12·11=33·4=132.

№ 15. 8+13=21; 63:21=3. Берём числитель 8·3=24 и знаменатель 13·3=39. Ответ: 24/39; проверка: 24+39=63, 24·13=39·8=312.

№ 16. 40 не делится на 14 без остатка: натурального k нет, ответ: не существует.

№ 17. 9+14=23; 46:23=2. Берём числитель 9·2=18 и знаменатель 14·2=28. Ответ: 18/28; проверка: 18+28=46, 18·14=28·9=252.

№ 18. 11+15=26; 52:26=2. Берём числитель 11·2=22 и знаменатель 15·2=30. Ответ: 22/30; проверка: 22+30=52, 22·15=30·11=330.

Почему ошибочны два утверждения в развилке

В № 9 решение есть: 8/18, потому что 8 + 18 = 26, а 8·9 = 18·4. В № 10 сумма 14 + 26 равна 40, однако 14/26 = 7/13, а не 7/10; кроме того, 40 не делится на 17, поэтому правильной пары нет. Нельзя подтверждать равенство дробей проверкой одной только суммы.

Как доказать, что другого ответа быть не может

Пусть исходная несократимая дробь равна p/q. Всякая дробь, равная ей при положительных целых числителе и знаменателе, обязана иметь вид (p·k)/(q·k). Если требуется a + b = S, получаем ровно одно уравнение: (p + q)·k = S. Его натуральный корень либо существует в единственном экземпляре, либо отсутствует. Поэтому при фиксированных p, q и S не бывает двух разных подходящих пар. Утверждение «не нашёл среди первых десяти вариантов» не считается доказательством отсутствия: нужна делимость.

Например, для 4/11 и суммы 45 можно рассуждать в три шага. Сначала 4 + 11 = 15; затем 45 : 15 = 3; наконец получаем 12/33. Перекрёстная проверка: 12·11 = 132, 33·4 = 132, а сумма 12 + 33 = 45. Для 7/11 с суммой 37 первое действие даёт 7 + 11 = 18, но 37 : 18 не является натуральным числом. Уже этого достаточно для строгого отрицательного ответа.

Следите за важным уточнением: дробь должна быть записана с натуральными числителем и знаменателем. Если разрешить любые положительные десятичные числа, уравнение для k можно было бы решить иначе; но в школьном задании сравниваются именно дробные записи с целыми членами. Не заменяйте это условие незаметно.

Самодиагностика: если ошибка в делимости — повторите деление с остатком; если сумма верная, но дроби не равны — проверяйте перекрёстное умножение; если дробь правильна, но сумма неверна — повторите выбор k.