Определение границ округления числа при разных количествах знаков после запятой — тематические карточки для 5 класса

Учебная цель. Восстанавливать все возможные исходные значения по округлённому результату и правильно учитывать включённую и невключённую границу.

Обратное округление — главное правило

В этих карточках рассматриваем неотрицательные числа и обычное школьное округление: если следующая цифра 5, 6, 7, 8 или 9, сохраняемый разряд увеличивается. Если результат округления равен R, а шаг округления равен u, то исходное число x должно удовлетворять R − u/2 ≤ x < R + u/2. Левая граница включается, правая — нет.

До целых u = 1; до десятых u = 0,1; до сотых u = 0,01; до тысячных u = 0,001. Пример: число округлено до сотых и получилось 3,46. Тогда 3,455 ≤ x < 3,465. Ровно 3,455 ещё округляется до 3,46; ровно 3,465 округлится уже до 3,47.

Маршрут А — восстанови интервал (№ 1–5)

Найдите обе границы всех возможных исходных значений. Укажите, включена ли правая граница. Последний ноль в записи 14,0 сохраняется: он показывает округление до десятых, а не до целых.

Маршрут Б — проверь три кандидата (№ 6–10)

Для каждого результата определите, какие из трёх кандидатов после округления дадут именно указанное число. Первый кандидат расположен на левой границе, второй — внутри промежутка, третий — на правой границе.

Маршрут В — объясни происхождение границ (№ 11–13)

В каждом задании найдите шаг u, половину шага u/2 и запишите интервал для исходного числа. Затем объясните, почему левая граница включается.

• № 11. После округления до десятых получилось 18,5. Назовите u и обе границы интервала.
• № 12. После округления до сотых получилось 19,99. Назовите u и обе границы интервала.
• № 13. После округления до десятых получилось 35,2. Назовите u и обе границы интервала.

Маршрут Г — диагностика утверждений (№ 14–16)

• № 14. Ученик утверждает: «Если округлили до тысячных и получилось 6,000, число 6,0005 также подходит». Согласны? Найдите крайние значения.
• № 15. Ученик утверждает: «Число 103,5 при округлении до целых не может дать 104». Проверьте и объясните границу.
• № 16. Ученик утверждает: «Если число записано как 2,50 после округления до сотых, то все исходные x лежат между 2,45 и 2,55». Обнаружьте ошибку в шаге округления.

Ответы и обратная проверка

№ 1. 7,5 ≤ x < 8,5 (округление до целых). Шаг 1, его половина 0,5. Левая граница даёт 8, а правая — уже 9.

№ 2. 42,5 ≤ x < 43,5 (округление до целых). Шаг 1, его половина 0,5. Левая граница даёт 43, а правая — уже 44.

№ 3. 2,65 ≤ x < 2,75 (округление до десятых). Шаг 0,1, его половина 0,05. Левая граница даёт 2,7, а правая — уже 2,8.

№ 4. 13,95 ≤ x < 14,05 (округление до десятых). Шаг 0,1, его половина 0,05. Левая граница даёт 14,0, а правая — уже 14,1.

№ 5. 0,55 ≤ x < 0,65 (округление до десятых). Шаг 0,1, его половина 0,05. Левая граница даёт 0,6, а правая — уже 0,7.

№ 6. 4,345 ≤ x < 4,355 (округление до сотых). Шаг 0,01, его половина 0,005. Левая граница даёт 4,35, а правая — уже 4,36.

№ 7. 12,795 ≤ x < 12,805 (округление до сотых). Шаг 0,01, его половина 0,005. Левая граница даёт 12,80, а правая — уже 12,81.

№ 8. 0,085 ≤ x < 0,095 (округление до сотых). Шаг 0,01, его половина 0,005. Левая граница даёт 0,09, а правая — уже 0,10.

№ 9. 7,0035 ≤ x < 7,0045 (округление до тысячных). Шаг 0,001, его половина 0,0005. Левая граница даёт 7,004, а правая — уже 7,005.

№ 10. 0,1245 ≤ x < 0,1255 (округление до тысячных). Шаг 0,001, его половина 0,0005. Левая граница даёт 0,125, а правая — уже 0,126.

№ 11. 18,45 ≤ x < 18,55 (округление до десятых). Шаг 0,1, его половина 0,05. Левая граница даёт 18,5, а правая — уже 18,6.

№ 12. 19,985 ≤ x < 19,995 (округление до сотых). Шаг 0,01, его половина 0,005. Левая граница даёт 19,99, а правая — уже 20,00.

№ 13. 35,15 ≤ x < 35,25 (округление до десятых). Шаг 0,1, его половина 0,05. Левая граница даёт 35,2, а правая — уже 35,3.

№ 14. 5,9995 ≤ x < 6,0005 (округление до тысячных). Шаг 0,001, его половина 0,0005. Левая граница даёт 6,000, а правая — уже 6,001.

№ 15. 103,5 ≤ x < 104,5 (округление до целых). Шаг 1, его половина 0,5. Левая граница даёт 104, а правая — уже 105.

№ 16. 2,495 ≤ x < 2,505 (округление до сотых). Шаг 0,01, его половина 0,005. Левая граница даёт 2,50, а правая — уже 2,51.

Ключ к проверке кандидатов № 6–10

Во всех пяти строках подходят А и Б, но В не подходит. Это не совпадение наугад: А находится на включённой нижней границе, Б строго внутри интервала, а В на исключённой верхней границе. Попробуйте заменить Б любым числом из соответствующего открытого промежутка — ответ не изменится.

Разбор неверных рассуждений

№ 14: нет, число 6,0005 при округлении до тысячных становится 6,001. № 15: нет, утверждение неверно: 103,5 округляется до 104, потому что левая граница включена. № 16: шаг при округлении до сотых равен 0,01, поэтому половина шага 0,005, а не 0,05.

Как не потерять точность, когда количество знаков меняется

Числа 14 и 14,0 равны по величине, но в условии об округлении они обозначают разную точность. Если результат 14 получен при округлении до целых, исходное значение могло находиться от 13,5 включительно до 14,5 не включительно. Если написано 14,0 после округления до десятых, допустимый интервал гораздо уже: от 13,95 до 14,05. В задачах об обратном округлении нельзя просто убрать конечный ноль, не сохранив в условии, до какого разряда округляли.

Точность 12,80 до сотых означает шаг 0,01: нижняя граница равна 12,795, верхняя — 12,805. Число 12,80499 находится внутри интервала, а 12,805 уже округлится до 12,81. Если ученик вместо половины сотой использует половину десятой, он расширит допустимый интервал в десять раз и начнёт принимать неверные числа. Поэтому полезно сперва записать шаг u, затем половину шага, и только после этого находить обе границы.

Контрольные вопросы. Чем отличается интервал для 14,0 от интервала для 14? Почему запись 12,80 в ответе нельзя без объяснения заменить записью 12,8? Как проверить границы, не округляя много случайных чисел? Если на эти вопросы получены ответы, навык обратной проверки освоен.