Проверка универсального утверждения при ограничениях «не больше» и «не меньше»: карточки с ответами, 5 класс
Цель карточки. Читать ограничения «не больше» и «не меньше» как включающие границу и проверять истинность всеобщих утверждений без полного перебора промежутка.
Данные для работы: натуральное число n не меньше L и не больше R. Это означает L ≤ n ≤ R, поэтому обе крайние величины допустимы. Если вывод начинается словом «каждое», необходимо, чтобы он выполнялся и для L, и для R, и для всех чисел между ними.
Содержание статьи5 разделов
Таблица наблюдений: границы включены
| Число n | Условие «не меньше 7» | Условие «не больше 10» | Подходит сразу по двум? |
|---|---|---|---|
| 6 | нет | да | нет |
| 7 | да | да | да |
| 8 | да | да | да |
| 9 | да | да | да |
| 10 | да | да | да |
| 11 | да | нет | нет |
Из таблицы видно: допустимые числа — 7, 8, 9, 10. Поэтому утверждение «все допустимые числа не больше 10» истинно. Утверждение «все допустимые числа не меньше 8» ложно: число 7 удовлетворяет исходным границам, но нарушает новый вывод.
16 карточек: оцените универсальное утверждение
В каждом задании рассматриваются все натуральные числа, заключённые между двумя границами включительно. Для истинного утверждения обоснуйте его через границы, для ложного приведите разрешённое число-контрпример. Заполните столбец «И/Л».
| № | Исходное ограничение для n | Проверяемый вывод «каждое n …» | И/Л |
|---|---|---|---|
| 1 | 7 ≤ n ≤ 12 | не больше 12 | _____ |
| 2 | 14 ≤ n ≤ 20 | не меньше 15 | _____ |
| 3 | 22 ≤ n ≤ 27 | не больше 26 | _____ |
| 4 | 31 ≤ n ≤ 36 | не меньше 31 | _____ |
| 5 | 40 ≤ n ≤ 44 | не меньше 39 и не больше 44 | _____ |
| 6 | 52 ≤ n ≤ 58 | не меньше 53 и не больше 60 | _____ |
| 7 | 63 ≤ n ≤ 67 | не меньше 60 и не больше 66 | _____ |
| 8 | 71 ≤ n ≤ 75 | не меньше 71 и не больше 75 | _____ |
| 9 | 81 ≤ n ≤ 84 | не больше 82 | _____ |
| 10 | 91 ≤ n ≤ 96 | не меньше 90 | _____ |
| 11 | 100 ≤ n ≤ 103 | не меньше 101 | _____ |
| 12 | 111 ≤ n ≤ 116 | не больше 120 | _____ |
| 13 | 121 ≤ n ≤ 127 | не меньше 120 и не больше 126 | _____ |
| 14 | 131 ≤ n ≤ 135 | не меньше 131 и не больше 135 | _____ |
| 15 | 142 ≤ n ≤ 147 | не меньше 143 и не больше 148 | _____ |
| 16 | 150 ≤ n ≤ 155 | не больше 154 | _____ |
Обратите внимание на противоречия
В № 6 верно, что каждое число промежутка не больше 60. Но это ещё не доказывает весь вывод: дополнительное требование «не меньше 53» нарушает допустимое число 52. Когда в проверяемом утверждении две части соединены словом «и», обе должны быть верны для каждого числа.
Удобный алгоритм: если требуется доказать нижнюю границу «n не меньше K», проверяйте минимальное допустимое значение L. Если требуется доказать верхнюю границу «n не больше K», проверяйте максимальное значение R. Случай равенства K = L или K = R не исключается: слова «не меньше» и «не больше» не означают строгих неравенств.
Ключ и обоснования без перебора
№ 1. Истина. Минимум допустимых чисел равен 7, максимум — 12. Выполняется 12 ≤ 12. Поэтому условие истинно для всего промежутка.
№ 2. Ложь. Контрпример n = 14 допустим, так как 14 ≤ 14 ≤ 20, но выполняется 14 < 15. Поэтому вывод для всех чисел неверен.
№ 3. Ложь. Контрпример n = 27 допустим, так как 22 ≤ 27 ≤ 27, но выполняется 27 > 26. Поэтому вывод для всех чисел неверен.
№ 4. Истина. Минимум допустимых чисел равен 31, максимум — 36. Выполняется 31 ≥ 31. Поэтому условие истинно для всего промежутка.
№ 5. Истина. Минимум допустимых чисел равен 40, максимум — 44. Выполняется 40 ≥ 39. Выполняется 44 ≤ 44. Поэтому условие истинно для всего промежутка.
№ 6. Ложь. Контрпример n = 52 допустим, так как 52 ≤ 52 ≤ 58, но выполняется 52 < 53. Поэтому вывод для всех чисел неверен.
№ 7. Ложь. Контрпример n = 67 допустим, так как 63 ≤ 67 ≤ 67, но выполняется 67 > 66. Поэтому вывод для всех чисел неверен.
№ 8. Истина. Минимум допустимых чисел равен 71, максимум — 75. Выполняется 71 ≥ 71. Выполняется 75 ≤ 75. Поэтому условие истинно для всего промежутка.
№ 9. Ложь. Контрпример n = 84 допустим, так как 81 ≤ 84 ≤ 84, но выполняется 84 > 82. Поэтому вывод для всех чисел неверен.
№ 10. Истина. Минимум допустимых чисел равен 91, максимум — 96. Выполняется 91 ≥ 90. Поэтому условие истинно для всего промежутка.
№ 11. Ложь. Контрпример n = 100 допустим, так как 100 ≤ 100 ≤ 103, но выполняется 100 < 101. Поэтому вывод для всех чисел неверен.
№ 12. Истина. Минимум допустимых чисел равен 111, максимум — 116. Выполняется 116 ≤ 120. Поэтому условие истинно для всего промежутка.
№ 13. Ложь. Контрпример n = 127 допустим, так как 121 ≤ 127 ≤ 127, но выполняется 127 > 126. Поэтому вывод для всех чисел неверен.
№ 14. Истина. Минимум допустимых чисел равен 131, максимум — 135. Выполняется 131 ≥ 131. Выполняется 135 ≤ 135. Поэтому условие истинно для всего промежутка.
№ 15. Ложь. Контрпример n = 142 допустим, так как 142 ≤ 142 ≤ 147, но выполняется 142 < 143. Поэтому вывод для всех чисел неверен.
№ 16. Ложь. Контрпример n = 155 допустим, так как 150 ≤ 155 ≤ 155, но выполняется 155 > 154. Поэтому вывод для всех чисел неверен.
Что исправить при самопроверке
Распространённая ошибка — считать границы запрещёнными. Если дано «не больше 84», то число 84 разрешено; если дано «не меньше 81», число 81 разрешено. В № 9 число 84 — законный контрпример, и вычёркивать его нельзя. Не менее важная ошибка — проверять середину вместо края: число 82 может удовлетворять обоим условиям, но это не делает верным утверждение обо всех числах от 81 до 84.
Второй распространённый сбой — брать контрпример вне исходного множества. Для тезиса про числа от 31 до 36 число 30 вообще не рассматривается. В № 4 верно «все n не меньше 31»: раз минимум 31, меньше значения в этом промежутке просто нет. На этой идее основано краткое доказательство, которое работает и для гораздо больших промежутков.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.