Проверка универсального утверждения по условию «ровно одно из двух» — диагностика ошибок, 5 класс

Цель карточки. Проверять всеобщее утверждение «у каждого числа выполняется ровно один из двух признаков» и находить контрпримеры при двух истинных или двух ложных свойствах.

Базовый разбор. Ученик утверждает: «Для всех чисел из набора 34, 35, 36 выполнено ровно одно: чётность или кратность 3». Проверяем обратно по каждому числу. 34 чётное и не кратно 3 — подходит. 35 нечётное и не кратно 3 — не подходит. 36 одновременно чётное и кратно 3 — тоже не подходит. Следовательно, универсальное утверждение ложное и у него сразу два типа контрпримеров.

Как доказать или опровергнуть утверждение для всех

Удобно приписать каждому числу пару ответов A/B: да/нет. Для условия «ровно одно» допустимы только пары (да, нет) и (нет, да). Если в разрешённом наборе обнаружилось хотя бы одно (да, да) либо (нет, нет), слово «каждое» опровергнуто. Но чтобы подтвердить универсальное утверждение для конечного списка, надо проверить все его элементы или найти общий закон.

Диагностика: пять неверных решений

1. № 1. «Раз 48 кратно 2, оно удовлетворяет ровно одному признаку: кратно 2 или кратно 3». Исправьте ход рассуждения.
2. № 2. «Если 49 не делится ни на 2, ни на 3, это всё равно ровно один отрицательный ответ». Исправьте ход рассуждения.
3. № 3. «Достаточно проверить первое число из набора 26, 27, 30 для признаков кратно 2 / кратно 3». Исправьте ход рассуждения.
4. № 4. «Контрпример к утверждению о числах 50–60 — число 42». Исправьте ход рассуждения.
5. № 5. «Если утверждение ложно для числа 84, нужно объявить неверными все остальные числа». Исправьте ход рассуждения.

Самостоятельная серия: каждый ли кандидат проходит две проверки?

В заданиях 6–17 каждое число из указанных фигурных скобок должно удовлетворять ровно одному из двух признаков. Укажите «истина» или «ложь», приведите аргумент. Для ложного утверждения достаточно конкретного контрпримера; для истинного проверьте весь конечный набор.

Подробные ответы и обратная проверка

№ 1. Ошибка: 48 кратно также 3; два истинных признака запрещены.

№ 2. Ошибка: отрицательных ответа два, а истинного признака нет ни одного.

№ 3. Ошибка: 30 делится и на 2, и на 3; первого числа недостаточно для слова «все».

№ 4. Ошибка: 42 вне разрешённого диапазона 50–60 и ничего не опровергает.

№ 5. Ошибка: ложность универсального тезиса не означает, что условие нарушают все числа.

№ 6. Ложь. Число 12 находится в заданном наборе; для него оба признака истинны (A — да, B — да). Поэтому утверждение со словом «каждое» опровергнуто.

№ 7. Истина. Проверены все числа: 5: A и только он; 15: A и только он; 25: A и только он; 35: A и только он. Запрещённых пар «оба да» и «оба нет» нет.

№ 8. Ложь. Число 14 находится в заданном наборе; для него оба признака истинны (A — да, B — да). Поэтому утверждение со словом «каждое» опровергнуто.

№ 9. Истина. Проверены все числа: 8: A и только он; 16: A и только он; 32: A и только он; 64: A и только он. Запрещённых пар «оба да» и «оба нет» нет.

№ 10. Ложь. Число 30 находится в заданном наборе; для него оба признака истинны (A — да, B — да). Поэтому утверждение со словом «каждое» опровергнуто.

№ 11. Истина. Проверены все числа: 16: A и только он; 20: A и только он; 24: A и только он. Запрещённых пар «оба да» и «оба нет» нет.

№ 12. Ложь. Число 18 находится в заданном наборе; для него оба признака истинны (A — да, B — да). Поэтому утверждение со словом «каждое» опровергнуто.

№ 13. Ложь. Число 14 находится в заданном наборе; для него оба признака истинны (A — да, B — да). Поэтому утверждение со словом «каждое» опровергнуто.

№ 14. Истина. Проверены все числа: 21: A и только он; 33: A и только он; 39: A и только он. Запрещённых пар «оба да» и «оба нет» нет.

№ 15. Ложь. Число 48 находится в заданном наборе; для него оба признака истинны (A — да, B — да). Поэтому утверждение со словом «каждое» опровергнуто.

№ 16. Истина. Проверены все числа: 25: A и только он; 35: A и только он; 55: A и только он. Запрещённых пар «оба да» и «оба нет» нет.

№ 17. Ложь. Число 61 находится в заданном наборе; для него оба признака ложны (A — нет, B — нет). Поэтому утверждение со словом «каждое» опровергнуто.

Применяем проверку к изменённому условию

Представьте, что из набора в № 6 удалили 12, но оставили 18, 24 и 30. Универсальное утверждение осталось ложным: у 18 оба признака истинны. Если из набора № 13 с признаками «кратно 7» и «кратно 2» удалить 14 и 28, оставив только 7, то утверждение станет истинным для нового набора. Изменение допустимого множества иногда меняет ответ; свойства самих чисел при этом не меняются.

Как доказать истинность, если набор изменили

Сравните два похожих высказывания. «Для каждого числа из набора 25, 35, 55 выполняется ровно одно: кратно 5 или кратно 2» — истинно. У каждого числа последняя цифра 5, поэтому оно делится на 5, но не делится на 2. Здесь не требуется трижды выполнять длинное деление: общий признак последней цифры доказывает сразу оба условия для каждого числа.

А теперь измените набор, добавив 50. Новое универсальное утверждение станет ложным: у 50 одновременно выполняются оба свойства, так как 50 = 5·10 = 2·25. Обратите внимание: предыдущие числа не превратились в неправильные. Просто список стал больше и в нём появился один контрпример. Такой опыт объясняет, почему важно читать область проверки целиком и не пропускать новый элемент.

Когда признаки зависят друг от друга, отдельного внимания требует их совместное выполнение. Например, всякое число, кратное 8, кратно 4, поэтому для пары «кратно 8» / «кратно 4» любое кратное 8 автоматически даёт два истинных ответа. А при паре «кратно 4» / «кратно 7» можно подобрать числа, для которых истинно только первое, только второе, оба или ни одно. Выбирайте способ доказательства по конкретной связи признаков, а не по привычному образцу.

При оценке решения проверяйте не только слово «истина» или «ложь». Для ложного тезиса нужно назвать допустимое число и показать две проверки. Для истинного — объяснить, почему не осталось непроверенных кандидатов. Частая ошибка — считать «ровно одно» обычным «или»: обычное «или» может включать случай, когда верны оба признака, а здесь он строго запрещён.