Проверка последовательного изменения стоимости при изменении базы сравнения — математический практикум для 6 класса
Утверждение для проверки: «Если стоимость сначала выросла на 20%, а затем снизилась на 20%, она вернулась к прежнему значению». Это неверно. В первом действии 20% берут от старой цены, во втором — от уже увеличенной. Именно изменение базы сравнения делает ответ неожиданным.
Цель: различать исходную, промежуточную и итоговую стоимости, объяснять, к какой сумме относятся проценты на каждом шаге, и проверять обратным расчётом утверждения о цене.
Содержание статьи7 разделов
Почему два одинаковых процента не компенсируют друг друга
Допустим, первоначальная цена равна 1000 тг. После повышения на 20% получим 1200 тг: прибавили 200 тг. После снижения на 20% новой цены вычитаем 240 тг, то есть получаем 960 тг. Итог составляет 96% начальной стоимости, убыль равна 4%. Сравнивать величины «200 тг» и «240 тг» полезнее, чем механически складывать проценты.
Обозначим исходную стоимость P. После первого изменения на a% она станет P × (1 + a/100), если процент положительный, или P × (1 − a/100), если отрицательный. Второе изменение b% действует на новую стоимость: P × (1 + a/100) × (1 + b/100), где знак b может быть отрицательным. Конечное изменение в процентах от P равно результату произведения коэффициентов минус 1, умноженному на 100%.
Проверка случаев, когда привычный приём даёт сбой
- Повышение на 10% и снижение на 10% даёт 1,1 × 0,9 = 0,99: новая цена составляет 99% первоначальной, а не 100%.
- Повышение на 25% и снижение на 20% даёт 1,25 × 0,8 = 1: исходная цена действительно восстановилась. Величины процентов разные, потому что различаются их базы.
- Если второе изменение объявлено как «10% от исходной цены», а не от новой, нужно вычитать именно 0,1P. Это совсем иная формулировка.
- Проценты — не суммы в тенге. При цене 800 тг 10% — это 80 тг, а при цене 1000 тг — 100 тг.
12 задач на обоснование, а не на угадывание
Во всех заданиях первое и второе изменение применяются последовательно к текущей цене. Знак «+» — повышение, «−» — снижение. Найдите промежуточную и итоговую цену, а затем изменение в процентах от исходной цены. Назовите базу каждого шага.
| № | Цена сначала | Изменение 1 | Изменение 2 | Итог и вывод |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 800 тг | +25% | -20% | ________________ |
| 2 | 1200 тг | +10% | -10% | ________________ |
| 3 | 2000 тг | +15% | -20% | ________________ |
| 4 | 1500 тг | -20% | +25% | ________________ |
| 5 | 2400 тг | +20% | -25% | ________________ |
| 6 | 1800 тг | +10% | +5% | ________________ |
| 7 | 1600 тг | -25% | -10% | ________________ |
| 8 | 900 тг | +20% | -10% | ________________ |
| 9 | 2500 тг | -10% | +20% | ________________ |
| 10 | 4000 тг | +5% | -20% | ________________ |
| 11 | 600 тг | +50% | -20% | ________________ |
| 12 | 3000 тг | -30% | +10% | ________________ |
Два вопроса на доказательство
- А. Почему после скидки 25% требуется повышение на треть от новой цены, чтобы восстановить первоначальную стоимость? Проверьте на цене 1200 тг.
- Б. Может ли последовательное повышение на x% и снижение на x% при 0 < x < 100 оставить стоимость неизменной? Объясните с помощью коэффициентов, не перебирая цены.
Решения с обратной проверкой
№ 1. 800 тг → 1000 тг → 800 тг. Первое изменение 25% берём от 800 тг, второе -20% — уже от 1000 тг. Проверка: 800/800 × 100% = 100% начальной стоимости; итоговое изменение — 0%.
№ 2. 1200 тг → 1320 тг → 1188 тг. Первое изменение 10% берём от 1200 тг, второе -10% — уже от 1320 тг. Проверка: 1188/1200 × 100% = 99% начальной стоимости; итоговое изменение — -1%.
№ 3. 2000 тг → 2300 тг → 1840 тг. Первое изменение 15% берём от 2000 тг, второе -20% — уже от 2300 тг. Проверка: 1840/2000 × 100% = 92% начальной стоимости; итоговое изменение — -8%.
№ 4. 1500 тг → 1200 тг → 1500 тг. Первое изменение -20% берём от 1500 тг, второе 25% — уже от 1200 тг. Проверка: 1500/1500 × 100% = 100% начальной стоимости; итоговое изменение — 0%.
№ 5. 2400 тг → 2880 тг → 2160 тг. Первое изменение 20% берём от 2400 тг, второе -25% — уже от 2880 тг. Проверка: 2160/2400 × 100% = 90% начальной стоимости; итоговое изменение — -10%.
№ 6. 1800 тг → 1980 тг → 2079 тг. Первое изменение 10% берём от 1800 тг, второе 5% — уже от 1980 тг. Проверка: 2079/1800 × 100% = 115,5% начальной стоимости; итоговое изменение — +15,5%.
№ 7. 1600 тг → 1200 тг → 1080 тг. Первое изменение -25% берём от 1600 тг, второе -10% — уже от 1200 тг. Проверка: 1080/1600 × 100% = 67,5% начальной стоимости; итоговое изменение — -32,5%.
№ 8. 900 тг → 1080 тг → 972 тг. Первое изменение 20% берём от 900 тг, второе -10% — уже от 1080 тг. Проверка: 972/900 × 100% = 108% начальной стоимости; итоговое изменение — +8%.
№ 9. 2500 тг → 2250 тг → 2700 тг. Первое изменение -10% берём от 2500 тг, второе 20% — уже от 2250 тг. Проверка: 2700/2500 × 100% = 108% начальной стоимости; итоговое изменение — +8%.
№ 10. 4000 тг → 4200 тг → 3360 тг. Первое изменение 5% берём от 4000 тг, второе -20% — уже от 4200 тг. Проверка: 3360/4000 × 100% = 84% начальной стоимости; итоговое изменение — -16%.
№ 11. 600 тг → 900 тг → 720 тг. Первое изменение 50% берём от 600 тг, второе -20% — уже от 900 тг. Проверка: 720/600 × 100% = 120% начальной стоимости; итоговое изменение — +20%.
№ 12. 3000 тг → 2100 тг → 2310 тг. Первое изменение -30% берём от 3000 тг, второе 10% — уже от 2100 тг. Проверка: 2310/3000 × 100% = 77% начальной стоимости; итоговое изменение — -23%.
Ответ А. После скидки на 25% осталось 75% старой стоимости. Чтобы из 75 получить 100, надо добавить 25 относительно базы 75: 25/75 = 1/3. На числах: 1200 × 0,75 = 900 тг; 900 × (1 + 1/3) = 1200 тг. Нельзя просто «прибавить 25%» к 900: 25% от 900 — лишь 225 тг.
Ответ Б. Коэффициенты при противоположных изменениях равны (1 + x/100) и (1 − x/100). Их произведение 1 − (x/100)², оно меньше 1 для любого положительного x. Следовательно, восстановление первоначальной цены невозможно. При x = 0 изменение отсутствует — это единственный случай равенства.
Как оценивать объяснения
Полный ответ на задачу содержит не только число, но и две подписанные базы: к какой цене относилось первое изменение и к какой — второе. Если получилось ровно ноль после сложения +20% и −20%, проверьте, не был ли второй процент ошибочно взят от первоначальной цены. Для обратной проверки сравните финальную стоимость с начальной делением; разность в тенге и разность в процентах характеризуют одно изменение, но в разных единицах.
Дополнительное исследование: что значит «вернуть цену»
Сравните два способа вернуть цену 800 тг после повышения до 1000 тг. Первый способ — вычесть разницу 200 тг: это 20% именно от 1000 тг. Второй способ — разделить 1000 на коэффициент 1,25: снова получаем 800. Оба способа верны, потому что учитывают разные, но согласованные базы сравнения. Ошибка возникает, если записать «нужно снизить на 25%», не уточнив, от какой суммы берётся процент. 25% от 1000 тг составляет 250 тг, после такого уменьшения останется всего 750 тг.
В практических задачах полезно подписывать три величины буквами: P — цена до изменений, Q — цена после первого шага и R — после второго. Тогда первая процентная разность считается как (Q − P)/P × 100%, а вторая — как (R − Q)/Q × 100%. Итоговую разность считают по формуле (R − P)/P × 100%. Именно различие знаменателей позволяет проверить любые утверждения вида «сначала на столько-то процентов, затем на столько-то».
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.