Определение границ процентной оценки по округлённым данным опроса — математический практикум для 6 класса

Исходная ситуация. В отчёте об опросе написали «за новую цену проголосовало 34% участников». Но автор округлил долю до целого процента. По такой записи не всегда можно определить точное число голосов; зато можно вычислить все допустимые варианты и понять, когда запись вообще невозможна для данного объёма опроса.

Цель: переходить от округлённой процентной оценки к границам точной доли, затем обратно проверять целое число голосов. Предполагаем обычное округление до ближайшего целого процента: доля 33,5% округляется до 34%, а 34,5% — до 35%.

Разобранный пример с обратной проверкой

Опросили 80 человек, опубликовано 34%. Настоящая доля не меньше 33,5%, но строго меньше 34,5%. Число участников x удовлетворяет 0,335 × 80 ≤ x < 0,345 × 80, то есть 26,8 ≤ x < 27,6. Подходит единственное целое число 27. Проверка в обратную сторону: 27/80 × 100% = 33,75%, округляем → 34%.

Из того же диапазона нельзя автоматически заключить, что голосов «примерно 27», не проверив целочисленность. Если опрошено только 30 человек, запись 34% не соответствует никакому числу ответивших: для целого x нужно 10,05 ≤ x < 10,35, а целых чисел здесь нет. Следовательно, отчёт требует уточнения.

Памятка о границах

• Если указано p% после округления до целого процента, точная доля находится в интервале от (p − 0,5)% включительно до (p + 0,5)% не включительно.
• Число голосов целое: нижняя граница x округляется вверх до ближайшего целого; верхняя строго исключается.
• Не всякая округлённая доля возможна для маленькой выборки. При отсутствии подходящих целых чисел не придумывайте ответ.
• Если найдено несколько целых вариантов, результат опроса неоднозначен: нужно показать все значения либо их минимальное и максимальное число.

Самостоятельная серия: 16 разных выборок

Для каждого номера запишите все целые возможные числа голосов за изменение цены. Обоснуйте крайние значения, затем проверьте хотя бы один кандидат делением на количество участников. Ответ «ни одного» допустим, но его нужно доказать.

Три вопроса для обратной проверки

• А. Если в № 1 считать 28 голосов вместо 27, какой процент получим после округления? Почему он не подходит?
• Б. В отчёте указано 50% среди 3 участников. Может ли эта запись получиться при округлении до целого процента? Докажите.
• В. Для опроса из 200 человек опубликовано 25%. Обязательно ли ровно 50 человек дали нужный ответ? Проверьте нижнюю и верхнюю границы.

Решения и интервалы: ключ учителя

№ 1. Истинное количество x должно удовлетворять 26,8 ≤ x < 27,6. Возможные целые числа: 27 (всего 1). Проверка первого: 27/80 × 100% = 33,75%; после округления получается 34%.

№ 2. Истинное количество x должно удовлетворять 10,05 ≤ x < 10,35. Между границами нет ни одного целого числа, значит, такой отчёт невозможен при указанном количестве участников.

№ 3. Истинное количество x должно удовлетворять 29,4 ≤ x < 30,6. Возможные целые числа: 30 (всего 1). Проверка первого: 30/120 × 100% = 25%; после округления получается 25%.

№ 4. Истинное количество x должно удовлетворять 23,625 ≤ x < 24,375. Возможные целые числа: 24 (всего 1). Проверка первого: 24/75 × 100% = 32%; после округления получается 32%.

№ 5. Истинное количество x должно удовлетворять 85 ≤ x < 87. Возможные целые числа: 85, 86 (всего 2). Проверка первого: 85/200 × 100% = 42,5%; после округления получается 43%.

№ 6. Истинное количество x должно удовлетворять 28 ≤ x < 29,6. Возможные целые числа: 28, 29 (всего 2). Проверка первого: 28/160 × 100% = 17,5%; после округления получается 18%.

№ 7. Истинное количество x должно удовлетворять 8,25 ≤ x < 8,75. Между границами нет ни одного целого числа, значит, такой отчёт невозможен при указанном количестве участников.

№ 8. Истинное количество x должно удовлетворять 85,2 ≤ x < 87,6. Возможные целые числа: 86, 87 (всего 2). Проверка первого: 86/240 × 100% = 35,8333%; после округления получается 36%.

№ 9. Истинное количество x должно удовлетворять 9,45 ≤ x < 10,35. Возможные целые числа: 10 (всего 1). Проверка первого: 10/90 × 100% = 11,1111%; после округления получается 11%.

№ 10. Истинное количество x должно удовлетворять 85,5 ≤ x < 88,5. Возможные целые числа: 86, 87, 88 (всего 3). Проверка первого: 86/300 × 100% = 28,6667%; после округления получается 29%.

№ 11. Истинное количество x должно удовлетворять 32,7 ≤ x < 33,3. Возможные целые числа: 33 (всего 1). Проверка первого: 33/60 × 100% = 55%; после округления получается 55%.

№ 12. Истинное количество x должно удовлетворять 49,375 ≤ x < 50,625. Возможные целые числа: 50 (всего 1). Проверка первого: 50/125 × 100% = 40%; после округления получается 40%.

№ 13. Истинное количество x должно удовлетворять 46 ≤ x < 50. Возможные целые числа: 46, 47, 48, 49 (всего 4). Проверка первого: 46/400 × 100% = 11,5%; после округления получается 12%.

№ 14. Истинное количество x должно удовлетворять 119,7 ≤ x < 121,5. Возможные целые числа: 120, 121 (всего 2). Проверка первого: 120/180 × 100% = 66,6667%; после округления получается 67%.

№ 15. Истинное количество x должно удовлетворять 9,675 ≤ x < 10,125. Возможные целые числа: 10 (всего 1). Проверка первого: 10/45 × 100% = 22,2222%; после округления получается 22%.

№ 16. Истинное количество x должно удовлетворять 76,25 ≤ x < 78,75. Возможные целые числа: 77, 78 (всего 2). Проверка первого: 77/250 × 100% = 30,8%; после округления получается 31%.

Ответ А. 28/80 × 100% = 35%, значит, при округлении останется 35%, а не 34%. Подмена всего одного голоса меняет опубликованный процент.

Ответ Б. Нет. При трёх ответивших возможные доли — 0%, 33⅓%, 66⅔% или 100%, которые при округлении дают 0%, 33%, 67% или 100%. Половину участников выбрать невозможно, поскольку 3 не делится на 2.

Ответ В. При 200 участниках 24,5% ≤ x/200 × 100% < 25,5%, то есть 49 ≤ x < 51. Значит, возможны 49 или 50 ответов, а не только 50. У 49 человек доля 24,5%, которая округляется вверх до 25%; у 50 человек — ровно 25%.

Как не спутать два вида ограничений

Промежуток 24,5%–25,5% относится к точной доле, а промежуток 49–51 — к числу людей. Их нельзя сравнивать как величины одного типа. Кроме того, правая граница при принятом способе округления не включается. Например, 25,5% округляют уже до 26%. Проверка на целое число голосов всегда завершается обратным делением: x/N × 100%.

Ещё один способ проконтролировать ответ

Если число участников N велико, опубликованный округлённый процент может допускать несколько целых результатов. Например, при N = 400 и опубликованных 12% допустимая доля лежит от 11,5% до менее чем 12,5%. Это означает от 46 до менее чем 50 участников: возможны 46, 47, 48 и 49. Ошибка — назвать только ближайшее к 12% от 400 число 48 и не проверить соседние варианты. Когда просят именно границы процентной оценки, важны все целые значения, не меняющие опубликованный округлённый процент.

При проверке ученик должен сначала записать интервал процентов, затем перевести его в интервал числа людей и только после этого сделать вывод о возможных целых ответах. В задачах с малой выборкой полезно проверить ближайшие два целых числа по обе стороны расчётной оценки. Если ни одно при обратном округлении не даёт опубликованное значение, ответом будет не приближённое число, а обнаруженная несовместимость данных.