Поиск ошибочного переноса слагаемого с дробными коэффициентами — диагностика ошибок, 6 класс

Сюжет диагностической работы. Школьная мастерская собирает учебные наборы. В каждом комплекте используют дробную долю метра ленты; иногда от общего отрезка вырезают дополнительный кусок, а иногда к изготовленным отрезкам добавляют запас. По итоговой длине надо восстановить число комплектов. Ученик уже перенёс слагаемое через знак равенства — найдите ошибку.

Главное правило: переносить слагаемое означает выполнить одно и то же действие с обеими частями равенства. Из ax + b = c следует ax = c − b; из ax − b = c следует ax = c + b. Коэффициент a может быть обыкновенной дробью, но правило знаков не меняется. В задачах x — целое положительное число наборов.

Исходные данные мастерской

Таблица составлена так, что каждое значение получается из модели a · x ± b = c. Запись «прибавили» означает +b в исходной модели, «отрезали» — −b. Последний столбец содержит неверный перенос: исправьте знак без изменения коэффициента, а затем найдите x.

Проверка записи на примере № 1

В первом пункте половина метра на каждый набор и ещё три четверти метра дополнительной ленты дали 4¼ м. Уравнение (1/2)x + 3/4 = 17/4. Ошибка — написать (1/2)x = 17/4 + 3/4. Правильно: (1/2)x = 17/4 − 3/4 = 14/4 = 7/2, значит x = 7. Подстановка: (1/2)·7 + 3/4 = 17/4. Знак минус здесь появляется не «по памяти», а потому, что из обеих частей вычли 3/4.

14 связанных заданий на поиск ошибки

1. № 1. По данным строки 1 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
2. № 2. По данным строки 2 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
3. № 3. По данным строки 3 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
4. № 4. По данным строки 4 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
5. № 5. По данным строки 5 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
6. № 6. По данным строки 6 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
7. № 7. По данным строки 7 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
8. № 8. По данным строки 8 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
9. № 9. По данным строки 9 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
10. № 10. По данным строки 10 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
11. № 11. По данным строки 11 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
12. № 12. По данным строки 12 восстановите исходное уравнение; исправьте последнюю запись журнала; вычислите число комплектов и проверьте общую длину.
13. № 13. Для изделия требуется (3/4)x + 1/2 = 8 метров. Ученик написал (3/4)x = 8 + 1/2. Найдите и объясните его ошибку; обязательно проверьте, можно ли получить целое число комплектов.
14. № 14. При записи (2/5)x − 3/5 = 3 найден ответ x = 6. Определите, какой неверный перенос мог к нему привести, и найдите истинный ответ.

Ключ и обратная подстановка

№ 1. Исходная модель 1/2x + 3/4 = 17/4. Ошибочная строка «1/2 · x = 17/4 + 3/4»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 1/2 · x = 17/4 − 3/4 = 7/2; x = 7/2 : 1/2 = 7 наборов. Проверка: 1/2·7 + 3/4 = 17/4 м.

№ 2. Исходная модель 3/4x − 1/2 = 11/2. Ошибочная строка «3/4 · x = 11/2 − 1/2»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 3/4 · x = 11/2 + 1/2 = 6; x = 6 : 3/4 = 8 наборов. Проверка: 3/4·8 − 1/2 = 11/2 м.

№ 3. Исходная модель 2/3x + 5/6 = 41/6. Ошибочная строка «2/3 · x = 41/6 + 5/6»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 2/3 · x = 41/6 − 5/6 = 6; x = 6 : 2/3 = 9 наборов. Проверка: 2/3·9 + 5/6 = 41/6 м.

№ 4. Исходная модель 5/4x − 1/2 = 7. Ошибочная строка «5/4 · x = 7 − 1/2»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 5/4 · x = 7 + 1/2 = 15/2; x = 15/2 : 5/4 = 6 наборов. Проверка: 5/4·6 − 1/2 = 7 м.

№ 5. Исходная модель 3/5x + 2/5 = 32/5. Ошибочная строка «3/5 · x = 32/5 + 2/5»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 3/5 · x = 32/5 − 2/5 = 6; x = 6 : 3/5 = 10 наборов. Проверка: 3/5·10 + 2/5 = 32/5 м.

№ 6. Исходная модель 4/3x − 1/6 = 47/6. Ошибочная строка «4/3 · x = 47/6 − 1/6»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 4/3 · x = 47/6 + 1/6 = 8; x = 8 : 4/3 = 6 наборов. Проверка: 4/3·6 − 1/6 = 47/6 м.

№ 7. Исходная модель 7/6x + 1/3 = 22/3. Ошибочная строка «7/6 · x = 22/3 + 1/3»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 7/6 · x = 22/3 − 1/3 = 7; x = 7 : 7/6 = 6 наборов. Проверка: 7/6·6 + 1/3 = 22/3 м.

№ 8. Исходная модель 5/8x − 3/4 = 17/4. Ошибочная строка «5/8 · x = 17/4 − 3/4»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 5/8 · x = 17/4 + 3/4 = 5; x = 5 : 5/8 = 8 наборов. Проверка: 5/8·8 − 3/4 = 17/4 м.

№ 9. Исходная модель 9/10x + 1/5 = 46/5. Ошибочная строка «9/10 · x = 46/5 + 1/5»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 9/10 · x = 46/5 − 1/5 = 9; x = 9 : 9/10 = 10 наборов. Проверка: 9/10·10 + 1/5 = 46/5 м.

№ 10. Исходная модель 3/2x − 5/6 = 29/3. Ошибочная строка «3/2 · x = 29/3 − 5/6»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 3/2 · x = 29/3 + 5/6 = 21/2; x = 21/2 : 3/2 = 7 наборов. Проверка: 3/2·7 − 5/6 = 29/3 м.

№ 11. Исходная модель 11/12x + 1/4 = 45/4. Ошибочная строка «11/12 · x = 45/4 + 1/4»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 11/12 · x = 45/4 − 1/4 = 11; x = 11 : 11/12 = 12 наборов. Проверка: 11/12·12 + 1/4 = 45/4 м.

№ 12. Исходная модель 7/4x − 2/3 = 19/3. Ошибочная строка «7/4 · x = 19/3 − 2/3»: слагаемое перенесено без смены знака. Правильно: 7/4 · x = 19/3 + 2/3 = 7; x = 7 : 7/4 = 4 наборов. Проверка: 7/4·4 − 2/3 = 19/3 м.

№ 13. Следовало вычесть 1/2, а не прибавить: (3/4)x = 8 − 1/2 = 15/2; x = (15/2) : (3/4) = 10. Проверка: (3/4)·10 + 1/2 = 8. Ответ целый, число комплектов допустимо.

№ 14. При ошибочном переносе (2/5)x = 3 − 3/5 получилось x = 6. Корректно: (2/5)x = 3 + 3/5 = 18/5, поэтому x = 9. Подстановка: (2/5)·9 − 3/5 = 3. Отрицательное слагаемое справа меняет знак на положительный.

Вывод по мастерской

Правдоподобный ответ не доказывает правильности переноса: целое количество комплектов иногда получается и при неверном преобразовании. Решение обязательно заканчивается обратной проверкой в исходной модели. Если вычислено дробное число комплектов, это сигнал перепроверить и знаки, и смысл данных. При переносе не нужно переписывать дробь с новым числителем или менять её знаменатель — меняется знак всего слагаемого.