Восстановление неизвестного коэффициента с отрицательными слагаемыми: диагностика ошибок, 6 класс

Учебный маршрут: известна величина x и результат линейного выражения, но коэффициент k перед x утрачен. Восстановите k и найдите место ошибки в промежуточной записи. Здесь важны отрицательные слагаемые: переносить нужно всё слагаемое вместе со знаком, а не только цифру.

Перед началом напомните себе два факта: уравнение k·x − a = b приводит к k·x = b + a; уравнение −a − k·x = b приводит к −k·x = b + a. После правильного переноса деление на отрицательное x может дополнительно изменить знак результата. Во всех заданиях, кроме последних двух, x не равен нулю.

Ступень 1. Найдите знак при переносе

1. № 1. k·(-3) − 5 = -17. Неверный переход: k·(-3) = -17 − 5. Исправьте его и найдите коэффициент k.
2. № 2. −6 + k·5 = -16. Неверный переход: k·5 = -16 − 6. Исправьте его и найдите коэффициент k.
3. № 3. −7 − k·(-4) = -19. Неверный переход: −k·(-4) = -19 − 7. Исправьте его и найдите коэффициент k.
4. № 4. k·6 − 9 = 3. Неверный переход: k·6 = 3 − 9. Исправьте его и найдите коэффициент k.
5. № 5. −8 + k·(-2) = -18. Неверный переход: k·(-2) = -18 − 8. Исправьте его и найдите коэффициент k.
6. № 6. −11 − k·3 = 1. Неверный переход: −k·3 = 1 − 11. Исправьте его и найдите коэффициент k.

Ступень 2. Ошибка или верный коэффициент?

Для пунктов 7–12 дополнительно выпишите неправильное значение k, которое вышло бы из указанного неверного перехода, и объясните расхождение. Иногда неправильный результат выглядит правдоподобно — проверка исходного выражения обязательна.

1. № 7. k·(-5) − 4 = -19. Неверный переход: k·(-5) = -19 − 4. Исправьте его и найдите коэффициент k.
2. № 8. −3 + k·4 = -23. Неверный переход: k·4 = -23 − 3. Исправьте его и найдите коэффициент k.
3. № 9. −9 − k·(-6) = -21. Неверный переход: −k·(-6) = -21 − 9. Исправьте его и найдите коэффициент k.
4. № 10. k·(-7) − 10 = -24. Неверный переход: k·(-7) = -24 − 10. Исправьте его и найдите коэффициент k.
5. № 11. −5 + k·8 = -29. Неверный переход: k·8 = -29 − 5. Исправьте его и найдите коэффициент k.
6. № 12. −8 − k·(-3) = -26. Неверный переход: −k·(-3) = -26 − 8. Исправьте его и найдите коэффициент k.

Ступень 3. Отрицательное x и деление с изменением знака

Пункты 13–18 решите самостоятельно. Если перед k есть дополнительный минус, сначала упростите знак перед произведением и только после этого делите. Не переписывайте (−k)·x как k·x без изменения знака.

1. № 13. k·9 − 7 = 29. Неверный переход: k·9 = 29 − 7. Исправьте его и найдите коэффициент k.
2. № 14. −5 + k·(-4) = -29. Неверный переход: k·(-4) = -29 − 5. Исправьте его и найдите коэффициент k.
3. № 15. −12 − k·7 = 2. Неверный переход: −k·7 = 2 − 12. Исправьте его и найдите коэффициент k.
4. № 16. k·(-8) − 6 = -46. Неверный переход: k·(-8) = -46 − 6. Исправьте его и найдите коэффициент k.
5. № 17. −13 + k·2 = -27. Неверный переход: k·2 = -27 − 13. Исправьте его и найдите коэффициент k.
6. № 18. −3 − k·(-9) = -39. Неверный переход: −k·(-9) = -39 − 3. Исправьте его и найдите коэффициент k.

Итоговая развилка: нулевой множитель

1. № 19. Возможно ли однозначно восстановить k, если k·0 − 7 = −7? Если нет, назовите все подходящие значения.
2. № 20. Возможно ли восстановить k из k·0 − 7 = −8? Докажите ответ подстановкой.

Ключ с пояснением каждого переноса

Ступень 1 — ключ

1. № 1. k·(-3) = -17 + 5 = -12. Делим на (-3) с учётом минуса перед k, если он есть: k = 4. Проверка: (4)·(-3) − 5 = -17. Результат -17, условие выполнено.
2. № 2. k·5 = -16 + 6 = -10. Делим на 5 с учётом минуса перед k, если он есть: k = -2. Проверка: −6 + (-2)·5 = -16. Результат -16, условие выполнено.
3. № 3. −k·(-4) = -19 + 7 = -12. Делим на (-4) с учётом минуса перед k, если он есть: k = -3. Проверка: −7 − (-3)·(-4) = -19. Результат -19, условие выполнено.
4. № 4. k·6 = 3 + 9 = 12. Делим на 6 с учётом минуса перед k, если он есть: k = 2. Проверка: (2)·6 − 9 = 3. Результат 3, условие выполнено.
5. № 5. k·(-2) = -18 + 8 = -10. Делим на (-2) с учётом минуса перед k, если он есть: k = 5. Проверка: −8 + (5)·(-2) = -18. Результат -18, условие выполнено.
6. № 6. −k·3 = 1 + 11 = 12. Делим на 3 с учётом минуса перед k, если он есть: k = -4. Проверка: −11 − (-4)·3 = 1. Результат 1, условие выполнено.

Ступень 2 — ключ

1. № 7. k·(-5) = -19 + 4 = -15. Делим на (-5) с учётом минуса перед k, если он есть: k = 3. Проверка: (3)·(-5) − 4 = -19. Результат -19, условие выполнено.
2. № 8. k·4 = -23 + 3 = -20. Делим на 4 с учётом минуса перед k, если он есть: k = -5. Проверка: −3 + (-5)·4 = -23. Результат -23, условие выполнено.
3. № 9. −k·(-6) = -21 + 9 = -12. Делим на (-6) с учётом минуса перед k, если он есть: k = -2. Проверка: −9 − (-2)·(-6) = -21. Результат -21, условие выполнено.
4. № 10. k·(-7) = -24 + 10 = -14. Делим на (-7) с учётом минуса перед k, если он есть: k = 2. Проверка: (2)·(-7) − 10 = -24. Результат -24, условие выполнено.
5. № 11. k·8 = -29 + 5 = -24. Делим на 8 с учётом минуса перед k, если он есть: k = -3. Проверка: −5 + (-3)·8 = -29. Результат -29, условие выполнено.
6. № 12. −k·(-3) = -26 + 8 = -18. Делим на (-3) с учётом минуса перед k, если он есть: k = -6. Проверка: −8 − (-6)·(-3) = -26. Результат -26, условие выполнено.

Ступень 3 — ключ

1. № 13. k·9 = 29 + 7 = 36. Делим на 9 с учётом минуса перед k, если он есть: k = 4. Проверка: (4)·9 − 7 = 29. Результат 29, условие выполнено.
2. № 14. k·(-4) = -29 + 5 = -24. Делим на (-4) с учётом минуса перед k, если он есть: k = 6. Проверка: −5 + (6)·(-4) = -29. Результат -29, условие выполнено.
3. № 15. −k·7 = 2 + 12 = 14. Делим на 7 с учётом минуса перед k, если он есть: k = -2. Проверка: −12 − (-2)·7 = 2. Результат 2, условие выполнено.
4. № 16. k·(-8) = -46 + 6 = -40. Делим на (-8) с учётом минуса перед k, если он есть: k = 5. Проверка: (5)·(-8) − 6 = -46. Результат -46, условие выполнено.
5. № 17. k·2 = -27 + 13 = -14. Делим на 2 с учётом минуса перед k, если он есть: k = -7. Проверка: −13 + (-7)·2 = -27. Результат -27, условие выполнено.
6. № 18. −k·(-9) = -39 + 3 = -36. Делим на (-9) с учётом минуса перед k, если он есть: k = -4. Проверка: −3 − (-4)·(-9) = -39. Результат -39, условие выполнено.

№ 19. Любое число k подходит, поскольку k·0 = 0, а 0 − 7 = −7. Решений бесконечно много, коэффициент не определяется однозначно.

№ 20. Нет ни одного решения: для любого k выражение k·0 − 7 равно −7, а не −8. Нельзя делить обе части равенства на ноль, даже если очень хочется найти «одно число».

Диагностика. Если знаки в № 1–6 верны, переходите к отрицательным коэффициентам в № 7–12. Если ошибка возникает в конце после правильного переноса, перепроверьте деление на отрицательное число. Если в № 19–20 найден единственный коэффициент, повторите свойство умножения на ноль: именно здесь привычный алгоритм деления перестаёт работать.