Обнаружение выброса в таблице при добавлении нового результата: самостоятельная работа, 6 класс

Самостоятельная работа, 6 класс. Учебная цель — анализировать, как добавленный результат меняет среднее, медиану и разброс и может ли новый результат оказаться необычным.

Ситуация: результаты школьного опыта

В четырёх группах измеряли число собранных за минуту деталей. По пять результатов уже внесено в журнал; затем каждая группа получила шестое измерение. Нуль возможен, если ученик не собрал ни одной детали; высокий результат может быть настоящим или ошибочно введённым. Обосновывайте ответ, не удаляя числа автоматически.

Решаем по ступеням

Сначала: для первых пяти значений вычислите среднее и размах. Затем: впишите шестой результат, пересчитайте среднее и медиану. После этого: аргументируйте, какие новые значения могут оказаться необычными.

Задания к таблице

1. Группа А: найдите сумму первых пяти измерений и их среднее.
2. Группа А: добавьте 0; найдите новое среднее как точную дробь и размах.
3. Группа А: определите медиану до и после добавления нуля.
4. Группа Б: сравните средние до и после нового результата 9.
5. Группа Б: проверьте, изменился ли размах после добавления числа 9.
6. Группа В: найдите среднее до и после появления результата 49.
7. Группа В: какие из новых результатов можно назвать кандидатами на выброс? Обоснуйте по таблице.
8. Группа Г: найдите новое среднее после добавления результата 1.
9. Группа Г: сравните медиану до и после нового результата.
10. У каких групп абсолютное изменение среднего наибольшее? Покажите вычисления.
11. В группе А результат 0 признали опечаткой и исправили на 19. Каково окончательное среднее шести результатов?
12. В группе В запись 49 перепроверили и подтвердили. Следует ли удалять её только потому, что она отличается от остальных?
13. Для групп Б и Г сравните, сколько значений окажутся не меньше исходной медианы в окончательной шестёрке.
14. Представьте, что группе Г добавили не 1, а 7. На сколько изменилось бы среднее по сравнению с записанным шестым результатом?

Ответы и проверка разумности

1. Сумма 95, среднее 95/5 = 19.
2. После нуля сумма остаётся 95, среднее 95/6 = 95/6; размах 20−0 = 20.
3. До: медиана 19. После: медиана 18,5. Нуль меняет крайнее значение, но центральные могут остаться прежними.
4. До 44/5, после 53/6; изменение 1/30. Новый результат близок к старым.
5. Размах до 2, после 2; он не изменился.
6. До 124/5 = 124/5; после (124+49)/6 = 173/6.
7. В группе В новый результат 49 сильно отделён от чисел 24–26, а в группе А нуль далеко от 18–20. Это кандидаты на выброс, не доказанные ошибки.
8. Группа Г: (30+1)/6 = 31/6.
9. Медиана первых пяти 6, итоговых шести 6.
10. Изменения среднего по модулю: А: 19/6; Б: 1/30; В: 121/30; Г: 5/6. Наибольшее в группе В.
11. В группе А исправленная сумма 114, среднее 19.
12. Нет. Высокое значение подтверждено; выброс может быть действительным результатом. Можно сообщить среднее и отдельно прокомментировать влияние крайнего значения.
13. В Б исходная медиана 9, значений не меньше неё 4. В Г медиана 6, таких значений 4.
14. Замена нового результата 1 на 7 увеличила бы сумму на 6, среднее шести значений на 6/6 = 1.

Если шестой результат сильно отличается от остальных, сначала уточняют обстоятельства записи. Исключение наблюдения без обоснования изменяет статистику и может создать ложное впечатление о данных.

Пояснение к самостоятельной работе: что меняется при добавлении шестой записи

Первое среднее вычисляется для пяти наблюдений, а второе — для шести. Нельзя сложить пять чисел, прибавить новое и снова делить на пять. Именно эта незаметная ошибка часто даёт убедительный на вид, но неверный ответ. Удобная проверочная формула для шестого результата x такова: новое среднее = (5 · прежнее среднее + x) : 6. Здесь число 5 — старое количество измерений, а не произвольный множитель.

Для группы А сумма первых измерений равна 95, их среднее — 19. После записи нуля шестое значение оказывается меньше прежнего среднего, поэтому новое среднее обязательно уменьшится: 95 : 6 = 15 целых 5/6. Если в тетради получился результат больше 19, ошибка видна без полного пересчёта. Такая предварительная оценка — полноценная часть математической проверки.

В группе Б новый результат равен 9. Он находится внутри обычного диапазона группы, поэтому размах не увеличивается. Из этого не следует, что среднее обязательно останется прежним. До добавления сумма пяти измерений равнялась 44, среднее 44/5 = 8,8. После добавления сумма стала 53, среднее 53/6 = 8 целых 5/6, то есть немного выросло. Небольшое изменение не равно нулю.

В группе В результат 49 особенно заметен рядом с 24, 25 и 26. Размах до добавления — 26 − 24 = 2, после — 49 − 24 = 25. Медиана при этом остаётся около центра группы; она меньше подвержена влиянию одного большого значения. Сравните оба показателя, прежде чем составлять словесный вывод о типичном результате.

У группы Г новая запись 1 находится ниже всех предыдущих. Поэтому среднее падает, а размах расширяется с 7 − 5 = 2 до 7 − 1 = 6. Однако из одного этого нельзя заключать, что запись неверна: возможно, во время последнего измерения участник работал только часть минуты. Уточнение условий эксперимента отделяет измерительную ошибку от настоящего изменения результата.

Самостоятельная проверка без калькулятора

После любого добавления числа новое среднее должно оказаться между старым средним и новым наблюдением, если оба значения известны. Например, у группы А оно должно находиться между 0 и 19; у группы В — между 24,8 и 49. Если граница нарушена, сначала перепроверьте сумму, затем число наблюдений. Медиану же ищите заново по шести упорядоченным числам: при чётном количестве это среднее двух центральных, а не обязательно одно из значений таблицы.

Оформление ответа: записывайте не только «выброс есть» или «нет выброса», но и конкретные наблюдения, с которыми сравниваете новый результат. Объяснение вида «49 далеко от диапазона 24–26» полезнее, чем неподтверждённая фраза «49 неправильное». При наличии сведений об эксперименте заключение может измениться.

Как оформить окончательное заключение

Ответ на вопрос о выбросе лучше строить из трёх частей. Сначала укажите конкретное новое наблюдение; затем назовите диапазон прежних результатов; наконец, дайте осторожную оценку: «сильно отличается, требует проверки» либо «попадает в обычный диапазон». Не пишите «данные ошибочны», если в условии нет сведений об опечатке или неисправности прибора.

Если ученик не может вычислить среднее дробным числом без калькулятора, допустимо оставить точную обыкновенную дробь. Например, 95/6 — математически правильный ответ; округление до десятых даёт 15,8 лишь как приближение. Если округляете, укажите, до какого разряда и по какому правилу. Для сравнения групп лучше использовать точные значения до последнего действия.