Восстановление неизвестной стороны прямоугольника по сетке с неполными клетками — задания с разбором, 6 класс

6 класс · Геометрия на клетчатой сетке. Объясняем, как восстановить неизвестную сторону прямоугольника, если его граница проходит через неполные клетки. В задачах сетка квадратная, площадь одной целой клетки равна 1 см², если не указано иное.

Сначала проверим спорное рассуждение

«Если на рисунке 9 полных клеток и 6 половинок, то площадь равна 15 клеткам». Это неверно: 6 половинок составляют 3 целые клетки. Значит, общая площадь 9 + 6·½ = 12 см². Чтобы получить вторую сторону прямоугольника, надо площадь разделить на длину известной стороны.

Схема счёта клеток

Схема ниже показывает пример прямоугольника высотой 4 клетки и шириной 3½ клетки. В каждой из четырёх строк расположены три полные клетки и ещё одна половина. Итого 12 полных клеток и 4 половины: площадь 14 см²; ширина 14:4 = 3,5 см.

Исследовательские задания: обоснуйте каждый результат

1. На схеме прямоугольника: 6 полных клеток и 2 половинок. Высота 2 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 3 см?
2. На схеме прямоугольника: 15 полных клеток и 3 четвертей. Высота 3 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 5 см?
3. На схеме прямоугольника: 8 полных клеток и 12 четвертей. Высота 4 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 2 см?
4. На схеме прямоугольника: 20 полных клеток и 5 половинок. Высота 5 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 4 см?
5. На схеме прямоугольника: 12 полных клеток и 2 четвертей. Высота 2 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 6 см?
6. На схеме прямоугольника: 18 полных клеток и 18 четвертей. Высота 6 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 3 см?
7. На схеме прямоугольника: 12 полных клеток и 3 половинок. Высота 3 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 4 см?
8. На схеме прямоугольника: 20 полных клеток и 4 четвертей. Высота 4 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 5 см?
9. На схеме прямоугольника: 10 полных клеток и 15 четвертей. Высота 5 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 2 см?
10. На схеме прямоугольника: 14 полных клеток и 2 половинок. Высота 2 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 7 см?
11. На схеме прямоугольника: 18 полных клеток и 9 четвертей. Высота 3 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 6 см?
12. На схеме прямоугольника: 24 полных клеток и 6 четвертей. Высота 6 см. Определите площадь и неизвестную ширину. Может ли ответ быть меньше 4 см?

Разбор частых противоречий

• Если ширина по подсчёту получилась отрицательной или нулевой, проверьте арифметику и единицы: размеры прямоугольника должны быть положительны.
• Половинки клеток нужно сложить по площади, а не считать каждая за целую.
• Фраза «всего 16 клеток» без пояснения, сколько из них неполные, недостаточна для точного определения площади.
• Знание площади без длины хотя бы одной стороны не определяет единственный прямоугольник: например, площадь 12 см² есть и у 3×4, и у 2×6.

Решения для преподавателя

1. Площадь: 6 + 2·1/2 = 7 см². Ширина 7 : 2 = 7/2 см. Меньше 3 см она быть не может: только полные клетки уже дают 3 см ширины. Проверка: 2·7/2 = 7 см².
2. Площадь: 15 + 3·1/4 = 63/4 см². Ширина 63/4 : 3 = 21/4 см. Меньше 5 см она быть не может: только полные клетки уже дают 5 см ширины. Проверка: 3·21/4 = 63/4 см².
3. Площадь: 8 + 12·1/4 = 11 см². Ширина 11 : 4 = 11/4 см. Меньше 2 см она быть не может: только полные клетки уже дают 2 см ширины. Проверка: 4·11/4 = 11 см².
4. Площадь: 20 + 5·1/2 = 45/2 см². Ширина 45/2 : 5 = 9/2 см. Меньше 4 см она быть не может: только полные клетки уже дают 4 см ширины. Проверка: 5·9/2 = 45/2 см².
5. Площадь: 12 + 2·1/4 = 25/2 см². Ширина 25/2 : 2 = 25/4 см. Меньше 6 см она быть не может: только полные клетки уже дают 6 см ширины. Проверка: 2·25/4 = 25/2 см².
6. Площадь: 18 + 18·1/4 = 45/2 см². Ширина 45/2 : 6 = 15/4 см. Меньше 3 см она быть не может: только полные клетки уже дают 3 см ширины. Проверка: 6·15/4 = 45/2 см².
7. Площадь: 12 + 3·1/2 = 27/2 см². Ширина 27/2 : 3 = 9/2 см. Меньше 4 см она быть не может: только полные клетки уже дают 4 см ширины. Проверка: 3·9/2 = 27/2 см².
8. Площадь: 20 + 4·1/4 = 21 см². Ширина 21 : 4 = 21/4 см. Меньше 5 см она быть не может: только полные клетки уже дают 5 см ширины. Проверка: 4·21/4 = 21 см².
9. Площадь: 10 + 15·1/4 = 55/4 см². Ширина 55/4 : 5 = 11/4 см. Меньше 2 см она быть не может: только полные клетки уже дают 2 см ширины. Проверка: 5·11/4 = 55/4 см².
10. Площадь: 14 + 2·1/2 = 15 см². Ширина 15 : 2 = 15/2 см. Меньше 7 см она быть не может: только полные клетки уже дают 7 см ширины. Проверка: 2·15/2 = 15 см².
11. Площадь: 18 + 9·1/4 = 81/4 см². Ширина 81/4 : 3 = 27/4 см. Меньше 6 см она быть не может: только полные клетки уже дают 6 см ширины. Проверка: 3·27/4 = 81/4 см².
12. Площадь: 24 + 6·1/4 = 51/2 см². Ширина 51/2 : 6 = 17/4 см. Меньше 4 см она быть не может: только полные клетки уже дают 4 см ширины. Проверка: 6·17/4 = 51/2 см².

Итоговый аргумент. Если на сетке известна площадь прямоугольника S и положительная сторона h, то другая сторона равна S/h. При подсчёте S доли клеток следует привести к целым клеткам; только потом применять формулу.

Почему неполную клетку нельзя округлять до целой

В клетчатом рисунке может быть 7 целых клеток и 4 половинки. Их нельзя считать за одиннадцать целых клеток. На самом деле их общая площадь равна 7 + 4·½ = 9 полным клеткам. Это число относится именно к площади, а не к количеству нарисованных фрагментов. Неполные клетки могут располагаться в разных строках; при сложении площадей их расположение не меняет общую сумму, если фрагменты не перекрываются.

Когда граница прямоугольника проходит на четверть ширины клетки, один такой фрагмент составляет четверть площади клетки лишь при условии, что занимает всю её высоту. Именно такое условие предусмотрено в упражнениях: края прямоугольников параллельны линиям сетки. Для произвольного треугольного обрезка нельзя автоматически считать площадь равной четверти: важны геометрические размеры, а не внешний вид знака.

Если площадь клетки равна 1 см², длина её стороны — 1 см. Для сетки со стороной клетки 2 см площадь целой клетки уже 4 см². Например, 5 полных клеток и 2 половины такой сетки дают (5 + 2·½)·4 = 24 см². При известной высоте прямоугольника 4 см неизвестная ширина равна 24:4 = 6 см. Здесь сначала определяют реальную площадь, а затем используют её для поиска стороны.

Проверка ответа двумя путями

Возьмём прямоугольник высотой 5 см: вдоль каждой строки идут две полные клетки и край из трёх четвертей клетки. По строкам получается 5·2 = 10 целых клеток и 5·¾ = 3¾ клетки: площадь 13¾ см². По размерам прямоугольника ширина составляет 2¾ см, поэтому площадь равна 5·2¾ = 13¾ см². Совпадение двух вычислений подтверждает правильный подсчёт неполных частей.

Сверять полезно также приблизительный результат. Если в каждом из четырёх рядов помещаются три целые клетки и небольшая часть четвёртой, ширина обязана быть больше 3 см, но меньше 4 см. Ответ 5 см не согласуется с рисунком даже в случае арифметической ошибки на промежуточном шаге.

Учебный итог: площадь клетки и длина стороны клетки — разные величины. Чтобы находить неизвестную сторону, нужно иметь площадь и другую сторону прямоугольника. Простого числа полных и неполных фрагментов без масштаба иногда недостаточно: нужно знать размер самой клетки.

Оценка площади до вычисления

Пусть высота составляет 3 клетки, а в каждой строке три целые клетки и четверть четвёртой. Площадь больше 3·3 = 9 клеток, но меньше 3·4 = 12 клеток. Точное значение 3·3¼ = 9¾ клетки. После деления на высоту получаем ширину 3¼ клетки. Такая проверка интервала помогает не перепутать дробь с целым числом.