Поиск ошибки при делении степеней для чисел с циклом последних цифр — мини-практикум с ответами, 7 класс

7 класс · 24 задания с развёрнутым ключом. Цель: обнаруживать неверное деление степеней с одинаковыми ненулевыми основаниями и проверять последнюю цифру результата, пользуясь цикличностью. Полное огромное число вычислять не требуется.

Метод за 3 шага

Для a ≠ 0 и целых m ≥ n ≥ 0 верно a^m : aⁿ = a^m−n. Сначала вычитаем показатели. Потом определяем цикл последних цифр для числа a (по последней цифре основания). Наконец, делим показатель на длину цикла, учитывая, что остаток 0 означает последний элемент цикла. Делить последние цифры друг на друга нельзя.

Пример: 7¹⁴ : 7⁵ = 7⁹. Цикл числа 7: 7, 9, 3, 1. Поскольку 9 = 4·2 + 1, последняя цифра 7. Ученик, который разделит «4 на 7» (последние цифры 7¹⁴ и 7⁵), получит бессмысленный ответ: последние цифры частного так не ищут.

Разбор на черновике: как не попасть в ловушку цикла

Рассмотрим 3²⁷ : 3⁸. Вычитание даёт 3¹⁹. Цифры степеней тройки повторяются по кругу: 3, 9, 7, 1. После четырёх шагов цикл начинается заново. При делении 19 на 4 остаток 3; выбираем третью цифру цикла — 7. Иногда ошибочно считают, что остаток 3 означает третью цифру числа 3¹⁹. Нет: это порядковое место в периоде последних цифр.

Проверьте, почему нельзя просто поделить последние цифры исходных чисел. У 3²⁷ последняя цифра 7, у 3⁸ последняя цифра 1. Здесь деление 7 на 1 случайно дало бы 7, но это не математическое правило. Уже в выражении 7¹⁶ : 7³ последние цифры исходных чисел — 1 и 3, однако правильное частное 7¹³, оканчивающееся на 7. Число «1 : 3» не является последней цифрой целого частного.

Случай с периодом длиной два: 9²¹ : 9⁹ = 9¹². Степени девятки оканчиваются на 9, 1, 9, 1, … Чётный итоговый показатель даёт 1. Если пользоваться циклом длины четыре, получится случайно тот же результат, но неверный алгоритм не переносится на другие показатели и основания. У числа 5 цикл вообще состоит из одной цифры.

Особое внимание — большие основания

Для последней цифры 17³⁴ : 17²² сначала найдём 17¹², но выписывать все цифры огромного числа не нужно. Основание 17 и основание 7 имеют одинаковые последние цифры степеней; 12 делится на 4, значит результат оканчивается на 1. При этом сами степени 17¹² и 7¹², разумеется, не равны.

Не следует путать десятичную цифру основания с основанием всей степени. Например, заменить 12⁵ на 2⁵ для вычисления полного частного нельзя. Такая замена подходит только для определения последней цифры после законного упрощения выражения.

Уровень I. Найдите и исправьте одну ошибку

1. Ученик утверждает, что последняя цифра 2¹¹ : 2⁴ равна 1. Найдите ошибку и правильную последнюю цифру.
2. Ученик утверждает, что последняя цифра 3¹⁴ : 3⁶ равна 4. Найдите ошибку и правильную последнюю цифру.
3. Ученик утверждает, что последняя цифра 7¹⁵ : 7⁴ равна 6. Найдите ошибку и правильную последнюю цифру.
4. Ученик утверждает, что последняя цифра 8¹⁷ : 8⁸ равна 1. Найдите ошибку и правильную последнюю цифру.
5. Ученик утверждает, что последняя цифра 9²³ : 9⁹ равна 4. Найдите ошибку и правильную последнюю цифру.
6. Ученик утверждает, что последняя цифра 4¹⁹ : 4⁶ равна 7. Найдите ошибку и правильную последнюю цифру.
7. Ученик утверждает, что последняя цифра 6²⁴ : 6¹³ равна 9. Найдите ошибку и правильную последнюю цифру.
8. Ученик утверждает, что последняя цифра 5²¹ : 5¹⁰ равна 8. Найдите ошибку и правильную последнюю цифру.

Уровень II. Проверяем ошибочное вычитание показателей

1. На листе написано: «12³⁷ : 12¹³ = 12⁵⁰». Почему равенство ложно? Укажите показатель и последнюю цифру истинного частного.
2. На листе написано: «13³¹ : 13¹⁴ = 13⁴⁵». Почему равенство ложно? Укажите показатель и последнюю цифру истинного частного.
3. На листе написано: «17⁴³ : 17²² = 17⁶⁵». Почему равенство ложно? Укажите показатель и последнюю цифру истинного частного.
4. На листе написано: «18²⁹ : 18¹¹ = 18⁴⁰». Почему равенство ложно? Укажите показатель и последнюю цифру истинного частного.
5. На листе написано: «19⁴⁸ : 19¹⁶ = 19⁶⁴». Почему равенство ложно? Укажите показатель и последнюю цифру истинного частного.
6. На листе написано: «23⁵⁷ : 23²⁹ = 23⁸⁶». Почему равенство ложно? Укажите показатель и последнюю цифру истинного частного.
7. На листе написано: «27⁶¹ : 27²² = 27⁸³». Почему равенство ложно? Укажите показатель и последнюю цифру истинного частного.
8. На листе написано: «28⁴⁹ : 28³⁰ = 28⁷⁹». Почему равенство ложно? Укажите показатель и последнюю цифру истинного частного.

Уровень III. Два деления подряд — не потерять знак показателя

1. Проверьте фразу «у (2²³ : 2⁹) : (2⁸ : 2³) показатель равен 23−9+8−3». Исправьте выражение для показателя и найдите последнюю цифру.
2. Проверьте фразу «у (3²⁹ : 3¹²) : (3¹¹ : 3⁴) показатель равен 29−12+11−4». Исправьте выражение для показателя и найдите последнюю цифру.
3. Проверьте фразу «у (7⁴¹ : 7¹⁷) : (7¹⁵ : 7⁵) показатель равен 41−17+15−5». Исправьте выражение для показателя и найдите последнюю цифру.
4. Проверьте фразу «у (8³⁸ : 8¹¹) : (8¹⁶ : 8⁴) показатель равен 38−11+16−4». Исправьте выражение для показателя и найдите последнюю цифру.
5. Проверьте фразу «у (9³² : 9¹⁰) : (9¹⁴ : 9³) показатель равен 32−10+14−3». Исправьте выражение для показателя и найдите последнюю цифру.
6. Проверьте фразу «у (12⁴⁷ : 12¹⁸) : (12¹⁹ : 12⁶) показатель равен 47−18+19−6». Исправьте выражение для показателя и найдите последнюю цифру.
7. Проверьте фразу «у (17⁵⁵ : 17²¹) : (17¹⁸ : 17⁵) показатель равен 55−21+18−5». Исправьте выражение для показателя и найдите последнюю цифру.
8. Проверьте фразу «у (23⁶³ : 23¹⁹) : (23²⁵ : 23⁷) показатель равен 63−19+25−7». Исправьте выражение для показателя и найдите последнюю цифру.

Как оформлять ответ к заданиям высокого уровня

В каждом пункте третьего уровня присутствуют два частных. Вначале каждое выражение в скобках замените степенью с разностью показателей, затем разделите полученные две степени. Нельзя открыть вторые скобки со знаком «плюс» — перед ними фактически стоит знак вычитания целого показателя. Например, (2²³ : 2⁹) : (2⁸ : 2³) = 2¹⁴ : 2⁵ = 2⁹, последняя цифра 2. Одна пропущенная скобка поменяла бы показатель с 9 на 19.

В ответах достаточно указать итоговую степень и её последнюю цифру, но для полноценной проверки учитель может попросить выписать деление показателя на длину цикла: 9=4·2+1. Если исходное основание заканчивается на 0, 1, 5 или 6, последние цифры всех положительных степеней постоянны. При показателе ноль для ненулевого основания действует общее правило a⁰=1.

Самый надёжный быстрый контроль: для маленького показателя вычислите целое частное, а для большого — проверьте остаток показателя по модулю длины цикла. Оба подхода должны давать одну и ту же последнюю цифру.

Ключ с проверкой каждого задания

I. Пошаговые ответы

1. Показатель частного 11−4=7. Цикл: 2–4–8–6; берём позицию 3 из 4, получаем 8, не 1. Частное является целым, так как 11≥4.
2. Показатель частного 14−6=8. Цикл: 3–9–7–1; берём позицию 4 из 4, получаем 1, не 4. Частное является целым, так как 14≥6.
3. Показатель частного 15−4=11. Цикл: 7–9–3–1; берём позицию 3 из 4, получаем 3, не 6. Частное является целым, так как 15≥4.
4. Показатель частного 17−8=9. Цикл: 8–4–2–6; берём позицию 1 из 4, получаем 8, не 1. Частное является целым, так как 17≥8.
5. Показатель частного 23−9=14. Цикл: 9–1; берём позицию 2 из 2, получаем 1, не 4. Частное является целым, так как 23≥9.
6. Показатель частного 19−6=13. Цикл: 4–6; берём позицию 1 из 2, получаем 4, не 7. Частное является целым, так как 19≥6.
7. Показатель частного 24−13=11. Цикл: 6; берём позицию 1 из 1, получаем 6, не 9. Частное является целым, так как 24≥13.
8. Показатель частного 21−10=11. Цикл: 5; берём позицию 1 из 1, получаем 5, не 8. Частное является целым, так как 21≥10.

II. Где изменили правило

1. Надо вычесть, а не сложить показатели: 37−13 = 24. Для последней цифры 2 цикл 2–4–8–6, позиция 4; ответ: 12²⁴, последняя цифра 6.
2. Надо вычесть, а не сложить показатели: 31−14 = 17. Для последней цифры 3 цикл 3–9–7–1, позиция 1; ответ: 13¹⁷, последняя цифра 3.
3. Надо вычесть, а не сложить показатели: 43−22 = 21. Для последней цифры 7 цикл 7–9–3–1, позиция 1; ответ: 17²¹, последняя цифра 7.
4. Надо вычесть, а не сложить показатели: 29−11 = 18. Для последней цифры 8 цикл 8–4–2–6, позиция 2; ответ: 18¹⁸, последняя цифра 4.
5. Надо вычесть, а не сложить показатели: 48−16 = 32. Для последней цифры 9 цикл 9–1, позиция 2; ответ: 19³², последняя цифра 1.
6. Надо вычесть, а не сложить показатели: 57−29 = 28. Для последней цифры 3 цикл 3–9–7–1, позиция 4; ответ: 23²⁸, последняя цифра 1.
7. Надо вычесть, а не сложить показатели: 61−22 = 39. Для последней цифры 7 цикл 7–9–3–1, позиция 3; ответ: 27³⁹, последняя цифра 3.
8. Надо вычесть, а не сложить показатели: 49−30 = 19. Для последней цифры 8 цикл 8–4–2–6, позиция 3; ответ: 28¹⁹, последняя цифра 2.

III. Контроль скобок

1. Имеем 2¹⁴ : 2⁵ = 2⁹, поскольку (23−9)−(8−3)=9. Вторую скобку именно вычитаем. Цикл для цифры 2: 2–4–8–6; последняя цифра 2.
2. Имеем 3¹⁷ : 3⁷ = 3¹⁰, поскольку (29−12)−(11−4)=10. Вторую скобку именно вычитаем. Цикл для цифры 3: 3–9–7–1; последняя цифра 9.
3. Имеем 7²⁴ : 7¹⁰ = 7¹⁴, поскольку (41−17)−(15−5)=14. Вторую скобку именно вычитаем. Цикл для цифры 7: 7–9–3–1; последняя цифра 9.
4. Имеем 8²⁷ : 8¹² = 8¹⁵, поскольку (38−11)−(16−4)=15. Вторую скобку именно вычитаем. Цикл для цифры 8: 8–4–2–6; последняя цифра 2.
5. Имеем 9²² : 9¹¹ = 9¹¹, поскольку (32−10)−(14−3)=11. Вторую скобку именно вычитаем. Цикл для цифры 9: 9–1; последняя цифра 9.
6. Имеем 12²⁹ : 12¹³ = 12¹⁶, поскольку (47−18)−(19−6)=16. Вторую скобку именно вычитаем. Цикл для цифры 2: 2–4–8–6; последняя цифра 6.
7. Имеем 17³⁴ : 17¹³ = 17²¹, поскольку (55−21)−(18−5)=21. Вторую скобку именно вычитаем. Цикл для цифры 7: 7–9–3–1; последняя цифра 7.
8. Имеем 23⁴⁴ : 23¹⁸ = 23²⁶, поскольку (63−19)−(25−7)=26. Вторую скобку именно вычитаем. Цикл для цифры 3: 3–9–7–1; последняя цифра 9.

Самопроверка: у деления степеней с одним и тем же ненулевым основанием показатели вычитаются. Цикл применяют к итоговому показателю, а не к двум последним цифрам по отдельности. Если показатель результата равен нулю, частное равно 1 и последняя цифра 1.

Контрольный случай с нулевой разностью показателей

У числа 8⁴⁶ : 8⁴⁶ оба показателя одинаковы, поэтому частное равно 8⁰=1. Если машинально заглянуть в обычный цикл последних цифр 8, 4, 2, 6 и принять нулевой показатель за «нулевую позицию», легко ошибиться. Последняя цифра здесь 1, а не 6: циклы 8¹, 8², … начинаются с положительного показателя, а нулевую степень нужно рассматривать отдельно.

Другой полезный контроль: 12⁵¹ : 12⁴⁷ = 12⁴. Четвёртая степень числа 12 заканчивается на 6. Проверим на малых числах того же типа: 12⁴=20736, последняя цифра действительно 6. Аналогично 32⁴ и 2⁴ имеют одинаковую последнюю цифру, хотя численные значения этих степеней разные.

Задания на последнюю цифру учат сохранять два уровня рассуждения: сначала точное преобразование целого выражения, затем вычисление только одной цифры. Если пропустить первый уровень и сразу работать с остатками, можно получить правильный ответ случайно и не заметить неверного обоснования.