Поиск ошибки при делении степеней с нулевым показателем: самостоятельная работа, 7 класс

Самостоятельная работа, 7 класс · 12 связанных задач. В школьном математическом кружке используют степени, чтобы подсчитать число последовательностей команд. Если на каждом шаге есть a вариантов, за n шагов — aⁿ последовательностей. Для нуля шагов при a>0 остаётся одна пустая последовательность: a⁰=1. Задача — найти ошибку в делении таких степеней.

Исходные данные кружка

Важно: основание должно быть отличным от нуля, когда мы делим на его степень. Для a ≠ 0 всегда a⁰ = 1 и aⁿ : aⁿ = 1. Записи 0:0 и 0⁰ не имеют значения в рассматриваемой школьной арифметике. Допустимы рациональные результаты, например 7⁰:7³ = 1/343.

Почему такие деления встречаются в таблицах данных

Когда школьники считают варианты цепочки команд, появляется степень: четыре последовательных действия с тремя вариантами каждого дают 3·3·3·3 = 81. Разбиение на группы иногда записывают дробью, например число всех цепочек делят на число допустимых окончаний. Если в нижней строке показано 3⁰, оно равно единице: одна «пустая цепочка», а не отсутствие числа. Поэтому в карточке А результат равен 81 и округлять ничего не нужно.

Смысл нулевого показателя не зависит от того, считают ли сочетания команд, клетки разветвления или варианты маршрута. Равенство a³:a³=1 при a>0 выражает факт, что один и тот же набор ненулевых вариантов делят на самого себя. Формальная разность 3−3=0 соответствует единице: a⁰=1. Это удобный способ вспомнить правило без заучивания фразы «любой степени с нулём соответствует нуль», которая как раз неверна.

Но карточка Д устроена иначе: там ноль — не показатель, а само основание. Поскольку 0⁵=0, выражение 0⁵:0⁵ требует делить 0 на 0. Нельзя сказать, что ответ равен единице, даже если показатели одинаковы. При попытке проверить «частное q» по равенству q·0=0 подходит любое q, поэтому однозначного частного не существует.

Дополнительные сведения к таблице

В практических работах полезно явно проговаривать, что является основанием, а что — показателем. Запись 0⁵ обозначает нуль, возведённый в пятую степень; запись 5⁰ — число пять, возведённое в нулевую степень. Эти два выражения имеют совершенно разные значения.

Проверьте вычисления организаторов

1. По карточке А ученик написал 3⁴:3⁰ = 0. Верно ли?
2. По карточке Б: 5³:5³ = 5. Найдите точное значение.
3. По карточке В: 2⁶:(2²·2⁰) = 2⁶:2²·0 = 0. Укажите запрещённый шаг.
4. По карточке Г: 7⁰:7³ = 0. Какова верная дробь?
5. По карточке Д: 0⁵:0⁵ = 1. Можно ли так сократить?
6. Для модели 9²:(9⁰·9¹) школьник получил 0. Пересчитайте.
7. В модели (4⁰·4³):4³ получили 4. Верно ли это?
8. Значение (5⁴:5⁴)·5⁰ учитель проверил как 1. Докажите.
9. Для (0⁰):(2⁰) ученик написал 0. Что проверить до счёта?
10. Модель 1⁰:1⁴ дали в ответе 0. Почему ошибка?
11. После упрощения (10²:10⁰):10² ученик получил 10. Найдите ошибку.
12. Модель 6³:6³ и модель 0³:0³ якобы одинаковы по правилу деления степеней. Сравните.

Карта типичных ошибок перед сверкой с ключом

• В пунктах 1, 3, 6 и 7 прослеживается одна причина: учащийся подменяет нулевой показатель нулевым значением степени. Нужно в первую очередь заменить a⁰ на 1 и только потом выполнять деление.
• В пунктах 2, 8 и 11 важно сравнить всё выражение. Если после сокращения остаются только ненулевые нулевые степени, ответ может оказаться равным 1. Его полезно проверить обычным вычислением.
• Пункты 5, 9 и 12 проверяют область допустимых действий. Число 0 может быть делимым, но не знаменателем дроби. В пункте с 0⁰ также не определён сам числитель по принятому школьному правилу.
• В пункте 4 полезно оставить ответ в виде обычной дроби 1/343. Закон степеней продолжает работать и при отрицательной разности показателей, если основание ненулевое; отрицательный показатель описывает обратное число.
• Пункт 10 показывает особый случай основания 1: любое целое неотрицательное значение показателя даёт единицу. Поэтому число в показателе само по себе не определяет «большой» результат.

При взаимопроверке просите не только выбрать верное значение, но и подчеркнуть тот фрагмент, который ученик сначала обязан проверить: нулевое основание, нулевой показатель или скобки. Такой порядок существенно важнее скорости вычислений. Сверка без пояснения типа ошибки не позволяет отличить понимание правила от случайно угаданного ответа.

Короткая самостоятельная проверка: 6⁰·6³:6³ = 1·216:216 = 1. Если поменять единственный фрагмент на 0³·6³:6³, итог будет нулём: 0·216:216=0. Здесь деление допустимо, потому что знаменатель 216, а не 0. Именно расположение нуля меняет ответ.

Ответы с объяснениями

1. 3⁴:3⁰ = 81:1 = 81. Нуль — показатель, не значение степени; знаменатель равен 1.
2. 125:125 = 1 = 5⁰. В правиле вычитаем 3−3=0.
3. 2⁰=1, знаменатель (2²·1)=4. Значение 64:4 = 16. Нельзя заменять 2⁰ нулём.
4. 7⁰:7³ = 1:343 = 1/343; исходный показатель равен 0, но число не равно нулю.
5. Нет: 0⁵=0, получилось 0:0, а делить на нуль нельзя. Правило сокращения требует ненулевого основания.
6. 9⁰=1, 9¹=9, поэтому 81:(1·9)=9. Проверка: 9²⁻⁰⁻¹ = 9¹.
7. (1·64):64 = 1. При вычитании показателей 0+3−3=0, а 4⁰=1.
8. 625:625·1 = 1; оба множителя равны 1, хотя их показатели содержат нули.
9. 0⁰ не определяем; хотя 2⁰=1, числитель не имеет принятого значения. Поэтому выражение не вычисляется.
10. 1⁰=1 и 1⁴=1, частное 1, а не 0. Основание 1 ненулевое.
11. (100:1):100 = 1. По показателям 2−0−2=0, значит 10⁰=1.
12. 6³:6³=216:216=1. Во второй записи 0³:0³=0:0 — деление на ноль, значения нет. Равенство формальных показателей не отменяет ограничения a≠0.

Проверка разумности результата

• Если числитель равен знаменателю и оба ненулевые, частное равно 1, а не нулю.
• Если показатель нулевой при ненулевом основании, степень равна единице независимо от размера основания.
• Если знаменатель равен нулю, деление недопустимо. Не «сокращайте» нулевые основания по формуле aᵐ:aⁿ.
• Проверяйте расстановку скобок: в 2⁶:(2²·2⁰) делится на весь знаменатель 2²·2⁰.

Критерий: 1 балл за каждую правильную проверку и объяснение ограничения, максимум 12 баллов. После решения отдельно отметьте случаи, где вычисление невозможно.

Что даёт проверка чисел вместо механического сокращения

Возьмите 4³ : 4⁰ и 4³ : 0⁴. В первом случае делим 64 на 1 и получаем 64; во втором знаменатель равен 0, поэтому выражение не существует. Одно изменение местами цифр 0 и 4 полностью меняет допустимость деления. Полезно проговаривать это до вычисления разности показателей.

В прикладном сюжете ноль этапов обработки не означает отсутствия самой модели. Для положительного числа вариантов a остаётся одна последовательность длины ноль, и её количество a⁰ равно 1. Но если вариантов на каждом этапе ноль и этапов положительное количество, количество последовательностей 0ⁿ равно нулю. Нулевое значение, нулевой показатель и отсутствие разрешённого делителя — три разных факта.